没有矛盾。

那里的第一段谈到了多余的变量。

如果适用辛普森悖论，则变量并非多余。

考虑一个假设的线性回归模型

$$y_i = b_0 + b_1X_{1i} + b_2X_{2i} + u_i,\;\; i=1,...,n$$

作为代数问题（而不是任何随机假设），矩阵表示法中的 OLS 估计量是

$$\hat b = b + \left(\mathbf X'\mathbf X\right)^{-1}\mathbf X'\mathbf u$$

因此，它以回归矩阵为条件的期望值为

$$E\left(\hat b\mid \mathbf X\right) = b + \left(\mathbf X'\mathbf X\right)^{-1}\mathbf X'E\left(\mathbf u\mid\mathbf X \right)$$

所以：如果回归量关于误差项的“严格外生性”成立，或者换句话说，如果所有误差项均值独立于所有回归量，过去现在和未来，（这是经典中的基准假设线性回归模型），即如果，我们将有 $E\left(\mathbf u\mid\mathbf X \right)=\mathbf 0$

$$E\left(\hat b\mid \mathbf X\right) = b + \mathbf 0 \Rightarrow E(\hat b) = b$$

也使用迭代期望定律。

综上所述，“多余变量”是什么意思？我认为，这意味着与因变量“无关”。但“不相关”应翻译为“随机独立”。但是如果它独立于因变量，它必然独立于误差项（因此也严格外生于它），因此上述所有内容也适用于任何多余变量，并且 OLS 估计量是无偏的，即使，比如说，变量是“多余的”，真正的模型不包含它。 $X_2$

这就是计量经济学家理解这个问题的方式。现在，在更一般的设置中，“多余”可能意味着说，独立于，条件是的存在（我怀疑这更接近 Pearl 的想法）。尽管如此，只要对误差项严格外生，无偏结果就成立。$X_2$$y$$X_1$$X_2$