没有相关性是否意味着没有因果关系？

不，任何受控系统都是反例。

没有因果关系，控制显然是不可能的，但成功的控制意味着——粗略地说——某个数量保持不变，这意味着它不会与任何事物相关联，包括导致它保持不变的任何事物。

因此，在这种情况下，从缺乏相关性得出没有因果关系的结论是错误的。

这是一个有点话题的例子。

不。主要是因为相关性很可能是指线性相关性。两个变量可以非线性相关，也可能没有线性相关。构建这样的例子很容易，但我会给你一个更接近你的（更窄的）问题的例子。

让我们看一下随机变量 $x$ 和非随机函数 $f(x)=x^2$，我们用它来创建随机变量 $y=f(x)$。后者显然是由前一个变量引起的，而不仅仅是相关的。让我们画一个散点图：$x$, and the non random function $f(x)=x^2$, with which we create a random variable $y=f(x)$. The latter is clearly

漂亮、清晰的非线性相关图，但在这种情况下，它也是直接因果关系。但是，线性相关系数不显着，即尽管有明显的非线性相关，但没有线性相关，甚至存在因果关系：

>> x=randn(100,1);
>> y=x.^2;
>> scatter(x,y)
>> [rho,pval]=corr(x,y)

rho =

    0.0140


pval =

    0.8904

更新：@Kodiologist 在评论中是正确的。从数学上可以看出，这两个变量的线性相关系数确实为零。在我的示例中，$x$ 是标准正态变量，因此我们有以下内容： $$E[x]=0$$ $$E[x^2]=1$$ $$E[x\cdot x^2 ]=E[x^3]=0$$ 因此，协方差（以及随后的相关性）为零： $$Cov[x,x^2]=E[x \cdot x^2]-E[x] E[x^2]=0$$$x$ is the standard normal variable, so we have the following:

$$E[x]=0$$ $$E[x^2]=1$$ $$E[x\cdot x^2]=E[x^3]=0$$ Hence, the covariance (and subsequently the correlation) is zero: $$Cov[x,x^2]=E[x \cdot x^2]-E[x]E[x^2]=0$$

对于任何对称分布，例如均匀的 $U[-1,1]$，我们都会得到相同的结果。$U[-1,1]$.

没有。特别是，随机变量可以是相关但不相关的。

这是一个例子。假设我有一台机器，它接受单个输入 $x ∈ [-1, 1]$ 并产生一个随机数 $Y$，它以相等的概率等于 $x$ 或 $-x$。显然 $x$ 导致 $Y$。现在让 $X$ 是均匀分布在 $[-1, 1]$ 上的随机变量，并选择 $Y$ 且 $x = X$，在 $(X, Y)$ 上诱导联合分布。$X$ 和 $Y$ 是依赖的，因为$x ∈ [-1, 1]$ and produces a random number $Y$, which is equal to either $x$ or $-x$ with equal probability. Clearly $x$ causes $Y$. Now let $X$ be a random variable uniformly distributed on $[-1, 1]$ and select $Y$ with $x = X$, inducing a joint distribution on $(X, Y)$. $X$ and $Y$ are dependent, since

$$P(X < -\tfrac{1}{2})P(|Y| < \tfrac{1}{2}) = \tfrac{1}{4} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{8} ≠ 0 = P(X < -\tfrac{1}{2},\; |Y| < \tfrac{1}{2}).$$

但是，$X$ 和 $Y$ 的相关性为 0，因为$X$ and $Y$ is 0, because

$$\operatorname{Corr}(X, Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{σ_Xσ_Y} = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{σ_Xσ_Y} = \frac{0 - 0\cdot0}{σ_Xσ_Y} = 0.$$

也许从计算的角度来看会有所帮助。

作为一个具体的例子，以一个伪随机数生成器为例。

您设置的种子与生成器的 $k^\text{th}$ 输出之间是否存在因果关系？$k^\text{th}$ output from the generator?

是否有任何可测量的相关性？