正如其他人所指出的，问题是（2）。令和方差的 iid 正态分布。统计量是完备的，因为正态族是完备的。的所有无偏估计量并非不相关；取。的无偏估计量时，我们可以使用整个数据，而完整性只是的边际分布的一个属性。$X_1, ..., X_n$$\theta$$1$$T(X_1, ..., X_n) = X_1$$0$$\hat 0 = X_1 - X_2$$0$$T(X_1, ..., X_n)$

Casella 和 Berger 中的逻辑是这样的：如果就足够了，那么在寻找无偏估计量时这就是充分性给你的东西——它允许你忽略除之外的所有东西。因此足以证明，如果对于是无偏的，的每个无偏估计不相关， [注意：由于充分性，我们减少了显示与每个估计量的不相关性，只需要为仅依赖于的估计量显示它$T = T(X_1, ..., X_n)$$T$$T$$g(T)$$\theta$$g(T)$$0$$\hat 0(T)$$0$$T$。但是如果是完整的，那么除了与之外，没有无偏估计量，所以我们完成了。当然，既然我们已经确定是 UMVUE，它遵循后验的所有无偏估计量，不相关，即取决于整个样本。$T$$\hat 0(T)$$0$$g(T)$$g(T)$$g(T)$$0$$\hat 0(X_1, ..., X_n)$

如果您的的统一最小方差无偏估计不是充分统计量的函数（as），那么根据 Rao-Blackwell 定理，随机变量将是的无偏估计量，其方差一致小于是的一致最小方差无偏估计量这一事实相矛盾。没有充分性假设的 Lehmann-Scheffé 风格的结果将使该窗口打开。$U$$\theta$$S$$V=\textrm{E}_\theta[U\mid S]$$\theta$$U$$U$$\theta$

尽管这是一个老问题，但我认为获得更详细的答案会有所帮助。

步骤 2 仅在您的完整估计量也足够时才能确定。假设是的任意随机变量。然后 注意这个结果取决于充分性，因为需要对所有，所以通常它不能依赖于。因此 取上面那个人的例子。我们有，一个依赖于$T$$U$$E(U)=0$

$$E(E(U|T)) = E(U) = 0 \Rightarrow E(U|T) = 0$$ $E(U|T)$$\theta$$\theta$ $$Cov(T,U) = E(TU) -E(T)E(U) = E(TU) = E(TE(U|T)) = E(T*0) = 0.$$ $E(U|T) = E(X_1-X_2|X_1) = X_1-\theta$$\theta$，因此我们不一定会得到每个均值零随机变量的零协方差。