通常假设解释变量具有至少达到二阶的有限矩。在这种情况下，由于解释变量是随机游走，它的方差不是有限的。这使得矩阵不是有限的，其结果将在下面讨论。$Q=\hbox{plim } X′X/n$

解释变量不是固定的（它是随机的，因为它取决于）并且不独立于误差项。这使得 OLS 总体上是有偏差的，并且推断在小样本中无效。$x_{t-1}$$\epsilon$$\epsilon_t$

解释变量和不是相互独立的，但它们同时不相关，。在经典回归模型中，这将为 OLS 估计量在大样本中保持一致打开了可能性。$\epsilon_t$$E(x_t, u_t) = 0 \forall t$

如果矩阵是有限正定矩阵，则 F 检验统计量将渐近服从分布。正如@ChristophHanck 所指出的，这个矩阵在这种情况下不是有限的。因此，Mann 和 Wald 定理不适用，即使在大样本中，基于 OLS 的推理也不可靠。$Q = \hbox{plim } X′X/n$$\chi^2$

您可能对此答案感兴趣，该答案在固定 AR(q) 过程的背景下讨论了类似问题。

我将在标准 OLS 假设中列出的关键假设之一是“矩阵的平均值”没有弱 LLN 。缩放，我们对布朗运动的泛函收敛性很弱，即。$X'X$$1/T\sum_tx_{t-1}^2$$T^2$

$$T^{-2}\sum_{t=1}^Tx^2_{t-1}\Rightarrow\sigma^2\int_0^1W(r)^2d r$$

顺便说一句，我不太同意您发布的链接中的@Alecos 声明，即 OLSE 的分布没有解析解 - 我们知道 OLSE 的渐近分布，当以合适的超一致率缩放时，为$T$

$$\begin{eqnarray*} T\left(\hat{\beta}^{OLS}-1\right)&=&T\frac{\sum_{t=1}^Tx_{t-1}\epsilon_{t}}{\sum_{t=1}^Tx_{t-1}^2}\\ &=&\frac{T^{-1}\sum_{t=1}^Tx_{t-1}\epsilon_{t}}{T^{-2}\sum_{t=1}^Tx_{t-1}^2}\\ &\Rightarrow&\frac{\sigma^2/2\{W(1)^2-1\}}{\sigma^2\int_0^1W(r)^2d r}\\ &=&\frac{W(1)^2-1}{2\int_0^1W(r)^2d r}, \end{eqnarray*}$$ “Dickey-Fuller-distribution”（JASA 1979）。