他刚到桥边；他没有看自己要去哪里，被什么东西绊倒了，冷杉球从他的爪子里猛地跳进了河里。

“打扰了，”维尼说，它慢慢地漂浮在桥下，他回去拿另一个有韵律的松果。可他又想，还是看看河水吧，因为那是个平静的日子，于是躺下看了看，河水缓缓地从他身下滑落。. . 突然间，他的松果也滑落了。

“这很有趣，”维尼说。“我把它丢在另一边了，”维尼说，“它从这边出来了！不知道它会不会再来一次？”

AA Milne，小熊维尼角的房子（第六章。小熊维尼发明了一种新游戏，eeyore 也加入其中。）

这是沿着水面流动的图片：

箭头表示流动方向并由流线连接。 杉木锥体将倾向于跟随它落下的流线。但它并不总是每次都以同样的方式进行，即使它落在溪流中的同一个地方：沿其路径的随机变化，由水的湍流、风和自然的其他突发奇想引起的，将它踢到邻近的流线。

在这里，冷杉锥落到了右上角附近。它或多或少地沿着流线——汇合并向下向左流动——但沿途几乎没有绕弯路。

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“自回归过程”（AR 过程）是一个被认为表现得像某些流的数字序列。二维插图对应于一个过程，其中每个数字由其前面的两个值决定——加上一个随机的“绕道”。通过将序列中的每个连续对解释为流中一个点的坐标来进行类比。瞬间，流的流动以与 AR 过程相同的数学方式改变了杉木锥的坐标。

我们可以从基于流的图片中恢复原始过程，方法是写入杉木锥占据的每个点的坐标，然后擦除每组坐标中除最后一个数字之外的所有坐标。

自然——尤其是流——比与 AR 流程对应的流更丰富、更多样化。因为序列中的每个数字都被假定以相同的固定方式依赖于其前任——除了随机绕行部分——说明 AR 过程的流程表现出有限的模式。正如这里所见，它们确实可以像溪流一样流动。它们也可以看起来像排水管周围的漩涡。流动可以反向发生，似乎从排水管向外涌出。它们看起来就像两条溪流碰撞在一起的口：两个水源直接相互流动，然后分流到两侧。但仅此而已。比如说，你不能有一个流动的溪流，两边有涡流。AR 流程太简单了。

在这个流动中，冷杉球果从右下角掉落并迅速进入右上角的涡流，尽管它的位置发生了轻微的随机变化。但它永远不会完全停止移动，因为同样的随机运动将它从遗忘中拯救出来。杉木锥体的坐标围绕着一点移动——事实上，它们被看到在整体上围绕涡流中心的坐标振荡。在第一个溪流中，坐标不可避免地沿着溪流的中心前进，它很快捕捉到了锥体并将其带走，其速度超过了随机绕道可以减慢它的速度：它们随时间变化。 相比之下，围绕涡流盘旋是静止不动的例证捕获冷杉锥的过程；顺流而下，其中锥体从视线中流出——趋势——是非静止的。

顺便说一句，当 AR 流程的流程向下游移动时，它也会加速。 随着圆锥体沿着它移动，它变得越来越快。

AR 流的性质由一些特殊的“特征”方向决定，这些方向通常在流图中很明显：流线似乎会聚或来自这些方向。人们总是可以找到与 AR 过程中的系数一样多的特征方向：在这些插图中是两个。与每个特征方向相关的是一个数字，它的“根”或“特征值”。当数字的大小小于 1 时，该特征方向上的流向中心位置。当根的大小大于一时，流动加速远离中心位置。沿具有单位根的特征方向移动——其大小为$1$——受影响锥体的随机力支配。这是一次“随机行走”。锥体可以缓慢地飘走，但不会加速。

（有些图在标题中显示了两个词根的值。）

即使是小熊维尼——一只大脑很少的熊——也会认识到只有当所有的水流都流向一个涡流或漩涡时，水流才会捕获他的冷杉球果。否则，在其中一个随机弯道上，锥体最终会发现自己受到根大于$1$在规模上，它将从下游漂流并永远消失。因此，当且仅当所有特征值的大小都小于统一时，AR 过程才能是平稳的。

经济学家可能是最伟大的时间序列分析师和 AR 流程技术的雇主。他们的一系列数据通常不会加速消失。因此，他们只关心是否存在一个特征方向，其值可能与$1$大小：一个“单位根”。知道数据是否与这样的流动相一致，可以告诉经济学家很多关于他的维尼棒的潜在命运：也就是说，关于未来会发生什么。这就是为什么测试单位根很重要的原因。一篇精美的Wikipedia 文章解释了其中的一些含义。

Pooh 和他的朋友们发现了一个平稳性的实证检验：

现在有一天，小熊维尼、小猪、兔子和 Roo 都在一起玩 Poohsticks。当兔子说“走！”时，他们已经把棍子扔了进去。然后他们匆匆穿过桥的另一边，现在他们都靠在桥上，等着看谁的棍子先出来。但那是很久以后的事了，因为那天这条河非常懒惰，而且似乎根本不介意它根本没有到达那里。

“我能看到我的！” 罗叫道。“不，我看不到，这是别的东西。你能看到你的吗，小猪？我以为我能看到我的，但我看不到。就是这样！不，不是。你能看到你的吗，维尼？ "

“不，”维尼说。

“我预计我的棍子卡住了，”Roo 说。“兔子，我的棍子卡住了。你的棍子卡住了吗，小猪？”

“他们总是比你想象的要花更长的时间，”兔子说。

这段从 1928 年开始，可以被解释为第一个“单位袋鼠测试”。

想象两个$AR(1)$流程：

• 过程1：$v_k = 0.5 v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• 过程2：$v_k = v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• $\epsilon_i$取自$N(0,1)$

过程 1 没有单位根。过程 2 有一个单位根。您可以通过根据迈克尔的回答计算特征多项式来确认这一点。

想象一下，我们从零开始两个过程，即$v_1 = 0$. 现在想象一下当我们有一个“良好运行”的正 epsilon 时会发生什么，并想象两个过程都达到$v_{10} = 5$.

接下来发生什么？我们期望序列去哪里？

我们期望$\epsilon_{i} = 0$. 所以我们希望流程 1 的案例有$v_{11} = 2.5$,$v_{12} = 1.25$,$v_{13} = 0.625$等等

但我们期望过程 2$v_{11} = 5$,$v_{12} = 5$,$v_{13} = 5$等等

因此，一种直觉是，当“好运/坏运”推动一个具有单位根的过程时，该序列会因历史好运或坏运而“陷入困境”。它仍然会随机移动，但没有什么“强迫它回来”。另一方面，当没有单位根并且进程没有爆炸时，进程上有一个“力”，会使进程漂移回原来的位置，尽管随机噪声仍然会稍微敲一下.

“卡住”可以包括无阻尼振荡，一个简单的例子是：$v_k = -v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$. 这将在正负之间来回反弹，但振荡并非注定会爆发到无穷大或衰减到零。您可以获得更多形式的“卡住”，其中包括更复杂的振荡。

考虑一阶自回归过程

$$X_t= aX_{t-1} + e_t$$ 在哪里$e_t$是白噪声。该模型也可以用所有来表示$X$的一侧为 $$X_t-aX_{t-1} = e_t.$$

使用后移运算符$BX_t = X_{t-1}$我们可以将模型紧凑地重新表达为$X_t-aBX_t =e_t$或者，等效地，

$$(1-aB)X_t = e_t.$$ 特征多项式是$1-ax$. 这有一个（唯一的）根在$x=1/a$. 那么对于$|a|\lt 1$我们有一个固定的$AR(1)$过程和为$|a|\gt 1$我们有一个爆炸性的非平稳$AR(1)$过程。为了$a=1$我们有一个非平稳的随机游走和一个单位根$x=1/1=1$. 所以单位根构成了平稳性和非平稳性的分界线。这$AR(1)$模型（凭借其线性特征多项式）是最简单的说明它。