让我们使用您建议的简化：仅使用来自正读数的数据并忽略读数的值，因此我们只剩下一组循环数据。正如 whuber 建议的那样，您可以使用循环分散，可能乘以某个常数来确定应将多少数据视为异常值。一个比 Wikipedia 页面更容易理解的好文本是 Statistical Analysis of Circular data，作者 NI Fisher (1995)。

我将给出一些比 Wiki 页面更直接的公式，并给出一些示例代码。

分散度可以计算为（由于 Fisher (p.32-34)）：

1. 用的估计值可以用$\boldsymbol\theta = \{\theta_1, \dots, \theta_n\}.$$\bar\theta$

   • $S=\sum_{i=1}^{n}\sin(\theta_i)$ ,
   • $C=\sum_{i=1}^{n}\cos(\theta_i)$ ,
   • $\hat\mu = \text{atan2}(S, C)$。（见http://en.wikipedia.org/wiki/Atan2）

2. 计算。$\bar{R} = \frac{\sqrt{S^2 + C^2}}{n}$

3. 按照 wuber 的建议计算分散度。我不知道为什么，但维基百科的定义似乎与费舍尔略有不同。我将使用 Fisher 的：

   • $\hat\delta = \frac{1 - \left[ (1/n) \sum_{i=1}^{n} \cos 2 (\theta_i - \hat\mu) \right]}{2\bar{R}^2}.$

4. 然后，选择一些常数 （1 可能很好，但您可以微调）。然后，区间由下式给出 $c$

   • $\left[\hat\mu - c \hat\delta, \hat\mu + c \hat\delta \right]$。

我知道你想避免使用 R，但只是为了展示如何在代码中计算它，这里有一些基本的 R 代码，它也会生成一个图：

n  <- 200
th <- runif(n, 0.5 * pi, 1.5 * pi)

plot(cos(th), sin(th), xlim=c(-1, 1), ylim = c(-1, 1))

S <- sum(sin(th))
C <- sum(cos(th))

mu_hat <- atan2(S, C)

R_bar  <- sqrt(S^2 + C^2) / n

delta_hat <- (1 - sum(cos(2 * (th-mu_hat)))/n) / (2 * R_bar^2)

constant  <- 0.8

CI <- mu_hat + c(-1, 1) * constant * delta_hat

lines(x = c(0, cos(CI[1])), 
      y = c(0, sin(CI[1])), col="green")

lines(x = c(0, cos(CI[2])), 
      y = c(0, sin(CI[2])), col="blue")

最后一点，使用读数值提供的附加信息可能仍然更好，而不仅仅是符号，因为它可以提供更好的估计。但是，仅使用符号的简化使问题更易于管理。如果有人有一个包含读数的好解决方案，我很想知道！

这可能有点愚蠢，但我只是将这些点绘制成一个圆盘：角度被认为是时间，我假设单位半径。该点云的质心角度是数据的平均角度，即尊重“午夜环绕”属性的平均时间。该值还具有最大化 von Mises 分布的位置参数的 MLE 的良好特性。

由于我们所有的点大致位于上午 5 点到下午 5 点之间，因此它们的平均值接近中午也就不足为奇了。

但是，至少目前，这是我所理解的所有循环统计数据！我希望我能给你更多的帮助，但我仍然对维基百科的文章感到困惑。

sec.radians <- 2*pi*sec/(60*60*24)

plot(cos(sec.radians), sin(sec.radians), xlim=c(-1, 1), ylim=c(-1, 1))

theta   <- seq(0, 2*pi, by=0.01)
lines(cos(theta), sin(theta), col="red", lty="dashed")

landmarks   <- c(2*pi, 3*pi/2, pi, pi/2)
text(0.5*cos(landmarks), 0.5*sin(landmarks), c("midnight", "6 a.m.", "noon", "6 p.m."))

centroid    <- data.frame(x=mean(cos(sec.radians)), y=mean(sin(sec.radians)))
points(centroid, col="purple", lwd=5)
theta.mean  <- atan2(centroid$y, centroid$x)