如果已知总体是正常的，则基于单个观察的 95% 置信区间由$x$

这在美国统计学家，2001 年 5 月，卷 55，第 2 号。（PDF）

当然有。使用贝叶斯范式。您可能至少可能是多少有所了解- 例如，它在物理上不能为负数，或者它显然不能大于 100（也许您正在测量当地高中橄榄球队成员的身高）英尺）。放上一个先验，用你唯一的观察来更新它，你就有了一个美妙的后验。$\mu$

一个小的模拟练习来说明@soakley 的答案是否有效：

# Set the number of trials, M
M=10^6
# Set the true mean for each trial
mu=rep(0,M)
# Set the true standard deviation for each trial
sd=rep(1,M)
# Set counter to zero
count=0
for(i in 1:M){
 # Control the random number generation so that the experiment is replicable 
 set.seed(i)
 # Generate one draw of a normal random variable with a given mean and standard deviation
 x=rnorm(n=1,mean=mu[i],sd=sd[i])
 # Estimate the lower confidence bound for the population mean
 lower=x-9.68*abs(x)
 # Estimate the upper confidence bound for the population mean
 upper=x+9.68*abs(x)
 # If the true mean is within the confidence interval, count it in
 if( (lower<mu[i]) && (mu[i]<upper) ) count=count+1
}
# Obtain the percentage of cases when the true mean is within the confidence interval
count_pct=count/M
# Print the result
print(count_pct)
[1] 1

在 100 万次随机试验中，置信区间包括 100 万次的真实均值，即总是。如果置信区间为95%置信区间，则不应发生这种情况。

所以这个公式似乎不起作用......还是我犯了一个编码错误？

编辑：使用时同样的经验结果成立$(\mu, \sigma)=(1000,1)$;
然而，它是$0.950097 \approx 0.95$为了$(\mu, \sigma)=(1000,1000)$- 因此非常接近 95% 的置信区间。

这是一篇针对泊松案例的关于这个问题的全新文章，采用了一种很好的教学方法：

安德森。每格斯塔（2015 年）。使用一次观察构建泊松均值的近似置信区间的课堂方法。美国统计学家, 69(3), 160-164, DOI: 10.1080/00031305.2015.1056830。