均值和方差是根据（足够一般的）积分定义的。均值或方差无限意味着什么是关于这些积分的限制行为的陈述

例如，对于连续密度，均值是（这里可能被视为黎曼积分）。$\lim_{a,b\to\infty}\int_{-a}^b x f(x)\ dx$

例如，如果尾巴“足够重”，就会发生这种情况；上部或下部（或两者）可能不会收敛到有限值。对于有限/无限均值和方差的四种情况，请考虑以下示例：

1. 具有无限均值和非有限方差的分布。

   示例：具有的帕累托分布，zeta(2) 分布。$\alpha= 1$

2. 具有无限均值和有限方差的分布。

   不可能。

3. 具有有限均值和无限方差的分布。

   示例：分布。的帕累托。$t_2$$\alpha=\frac{3}{2}$

4. 具有有限均值和有限方差的分布。

   示例：任何正常。任何统一（实际上，任何有界变量都有所有矩）。。$t_3$

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Charles Geyer 的这些笔记讨论了如何简单地计算相关积分。看起来它在那里处理黎曼积分，它只涵盖连续情况，但更一般的积分定义将涵盖您可能需要的所有情况[勒贝格积分是测度论中使用的积分形式（它是概率的基础）但这里的要点适用于更基本的方法]。它还涵盖（第 2.5 节，第 13-14 页）为什么是“2”。不可能（如果存在方差，则均值存在）。

稳定的分布为您正在寻找的内容提供了很好的参数示例：

1. 无限均值和方差：$0 < \text{stability parameter} < 1$

2. 不适用

3. 有限均值和无限方差：$1 \leq \text{stability parameter} < 2$

4. 有限均值和方差：（高斯）$\text{stability parameter} = 2$

看看哪里出了问题是很有启发性的——积分都很好，但是样本平均值总是有限的，那么问题是什么？

我将使用没有有限均值的柯西分布。分布是围绕零对称的，所以如果它有一个平均值，那么零就是那个平均值。以下是一万个柯西变量（红色和黑色）的两个样本的累积平均值。首先是前 100 个，然后是前 1000 个，然后是全部。面板上的垂直比例增加（这是重点的一部分）

如果您有一个具有平均值的分布，则累积平均值将稳定到该平均值（根据大数定律）。如果您有均值和方差，它们将以已知速率稳定下来：第个均值的标准差将与成正比。$n$$1/\sqrt{n}$

柯西平均值正在“试图”稳定到零，但每隔一段时间你就会得到一个很大的值，而平均值又会再次从零跌落。在具有有限均值的分布中，这最终会停止发生，但对于柯西，它永远不会发生。平均值不会像对于具有无限平均值的非负变量那样趋于无穷大，它们只是永远被异常值踢来踢去。

这里没有人提到圣彼得堡悖论。否则我不会在这个已经有多个答案的旧帖子中发布，包括一个“已接受”的答案。

如果硬币落在“正面”上，您将赢得一美分。

如果“反面”，奖金翻倍，然后如果在第二次投掷“正面”，您赢取 2 美分。

如果第二次“反面”，则奖金再次翻倍，如果第三次抛“正面”，您将赢得 4 美分。

依此类推： 积的和是所以这是一个无限的期望值.

$$\begin{array}{|r|c|c|c|} \hline \text{outcome} & \text{winnings} & \text{probability} & \text{product} \\ \hline \text{H} & 1 & 1/2 & 1/2 \\ \text{TH} & 2 & 1/4 & 1/2 \\ \text{TTH} & 4 & 1/8 & 1/2 \\ \text{TTTH} & 8 & 1/16 & 1/2 \\ \text{TTTTH} & 16 & 1/32 & 1/2 \\ \text{TTTTTH} & 32 & 1/64 & 1/2 \\ \vdots\quad & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$$ $\dfrac 12 + \dfrac 12 + \dfrac 12+\cdots = +\infty,$

这意味着，如果您为每次抛硬币万亿美元等，那么您最终会领先。当您每次都不太可能赢得超过几美分时，这怎么可能？$\$1$$\$1$

答案是在非常罕见的情况下，您会得到一长串的反面，因此奖金将补偿您所付出的巨额费用。无论您为每次投掷付出多高的代价，这都是事实。