请阅读答案末尾的勘误表。

首先请注意，没有足够的信息来解决这个问题。在这两种情况下，$n$样本量缺失。在高斯分布的情况下，假设你知道$n$，您可以按照@Michael Chernick 的说明轻松完成。在 R 中会给出这样的东西（用$n=43$为了这个例子）。

n <- 43
ci <- c(1,6)
# Take the middle of the CI to get x_bar (3.5).
x_bar <- mean(ci)
# Use 1 = x_bar - 1.96 * sd/sqrt(n)
S2 <- n^2 * (x_bar - ci[1])/1.96

对于 Gamma 分布，情况有点复杂，因为它不是对称的。所以平均值不在 CI 的中心。

例如，假设您从 Gamma 总体中抽样$\Gamma(\alpha,1)$在哪里$\alpha$是未知的。样本均值是$n$变量分布为$\Gamma(\alpha,1)$除以$n$, 所以它是一个分布为的变量 $\Gamma(n\alpha,1/n)$. 假设我们观察到一个平均值$1.7$对于样本量$n=5$. 正如我们可以检查的那样，有几个 CI 包含此值。

> qgamma(.975, shape=1.7*5, scale=1/5)
[1] 3.019101
> qgamma(.975, shape=1.7*5, scale=1/5, lower.tail=F)
[1] 0.7564186

95% CI$\alpha$是$(.756, 3.019)$, 中间是$1.89$， 不是$1.70$. 简而言之，找到$\alpha$和$\theta$产生 95% CI 是可能的，因为解决方案是独一无二的，但它是一个 hack。

幸运的是，作为$n$增加，分布变得越来越高斯和对称，因此 CI 将围绕均值对称。a 的均值和方差$\Gamma(n\alpha,\theta/n)$是$\alpha\theta$和$\alpha\theta/n$，因此您可以使用高斯情况的结果并求解这个非常简单的方程得到$\alpha$和$\theta$.

勘误：在@whuber 的评论之后，我意识到建议的方法来获得置信区间$\alpha$不好。

上面给出的示例旨在证明使用 Gamma 变量获取 CI 比使用 Gaussian 变量更乏味。我的错误更好地证明了这一点。在@whuber 的提示下，我将表明我提出的 CI 不正确。

set.seed(123)
# Simulate 100,000 means of 5 Gaussian(0,1) variables (positive control).
means <- rnorm(100000, sd=1/sqrt(5))
upper <- means + qnorm(.975)/sqrt(5)
lower <- means - qnorm(.975)/sqrt(5)
mean((upper > 0) & (lower < 0))
[1] 0.95007 # OK.
# Simulate 100,000 means of 5 Gamma(1,1) variables.
means <- rgamma(100000, shape=5, scale=1/5)
upper <- qgamma(.975, shape=5*means, scale=1/5)
lower <- qgamma(.975, shape=5*means, scale=1/5, lower.tail=FALSE)
mean((upper > 1) & (lower < 1))
[1] 0.94666 # Almost, but not quite.

如果您指的是真实参数，那么答案当然是否定的。但是，如果您的意思是要从置信区间中恢复样本估计值，那么对于正态分布的答案是肯定的，如果样本量$n$也给出了。

如果置信区间是$(1,6)$， 然后$1= \overline{X}-1.96 \cdot S/\sqrt{n}$和$6=\overline{X}+1.96 \cdot S/\sqrt{n}$. 所以$\overline{X}= (6+1)/2=3.5$ 接着$6=3.5 +1.96 \cdot S/\sqrt{n}$或者$S=\sqrt{n} 2.5/(1.96)$.

对于 gamma 分布，本文展示了获取比率的近似和准确置信区间的各种方法。从这些置信区间获取参数估计可能很复杂。

您可以围绕任何可以估计的东西构建置信区间，无论是平均值、标准差，甚至是任何给定概率分布的最大值。

假设您有一个围绕从实验估计的平均值的 CI，其中有限样本大小$n$取自独立的、同分布的随机正态变量，那么您知道确切的置信区间是由样本均值加上或减去标准误差的 1.96 倍给出的，标准误差是按样本大小的平方根缩放的样本标准偏差。$\bar{x} \pm \mathcal{Z}_{\alpha/2} \left( s/\sqrt{n} \right)$. 您对这些参数的估计，通常标记为$\bar{x}$和$s$是“总体均值”的“最佳猜测”$\mu$和“标准差”$\sigma$.

无论独立样本的分布或均值的相应抽样分布如何，这些估计器也会估计相同的值。但是请注意，置信区间是渐近的，这些估计不一定是最好的。

如果给出的是正态分布的分位数（尽管与置信区间不同），那么问题的解决方案会减少以从分位数中找到分布参数。

对于我们想要找到的正态分布$\mu$和$\sigma$使得随机变量$X$满足：

随机变量$X$具有相同的分布$\mu Z + \sigma$在哪里$Z$是标准正态随机变量$Z \sim N(0,1)$和 cdf$\phi$.

这意味着：

approx_sd <- function(x1, x2){
  (x2-x1) / (qnorm(0.95) - qnorm(0.05) )
}
approx_sd(20, 40)


approx_mean <- function(x1, x2){
  (x1*qnorm(0.95) - x2*qnorm(0.05)) / (qnorm(0.95) - qnorm(0.05) )
}
approx_mean(20, 40)

对于 gamma，解决方案更复杂，因为逆 CDF 没有封闭形式。但是，有一些工具和软件可以自动处理这个复杂的问题，例如 ParameterSolver 可从以下存储库下载https://biostatistics.mdanderson.org/SoftwareDownload/

尽管您的问题来自频率论置信区间，当然不是分位数，但文本可能表明读者可以找到这个问题，寻找分位数参数化分布，这是一个积极研究的主题。