$$\begin{align}E[X\log X]&=\int_0^\infty \log x \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^\alpha e^{-\lambda x}dx\\&=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)\lambda}\int_0^\infty\log x\frac{\lambda^{\alpha+1}}{\Gamma(\alpha+1)}x^{(\alpha+1)-1}e^{-\lambda x}dx\\&=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)\lambda}E[\log Y]\end{align}$$ 其中。从这里，伽马 RV 的对数的期望值为： 其中代表多伽马函数。$Y\sim \text{Gamma}(\alpha_y=\alpha+1, \lambda_y=\lambda)$ $$E[\log Y]=-\log\lambda+\psi(\alpha+1)$$ $\psi$

所以，总的结果是（设）： $\alpha=3.7, \lambda=1$

$$E[X\log X]=\underbrace{\frac{\Gamma(4.7)}{1\times\Gamma(3.7)}}_{3.7}(-\log 1 +\psi(4.7))\approx5.32$$

我使用 Matlab 的psi函数来计算 polygamma 函数。