为了扩展我的评论，通常“空间协方差”与Gaussian Processes相关联，通常假定它是平稳的。此外，在实践中，空间协方差函数（内核）被假定为非负的并且随距离衰减。然后，标准设置是假设您的空间（样本）域远大于相关长度，因此在遍历假设下，整体平均值很好地近似于空间平均值。在这个框架中，经验（自）相关函数可以使用例如谱方法来估计。因此，在实践中并不总是需要某个特定模型的参数拟合。

现在，在我的工作中，我遇到了很多地质统计学，所有这些假设通常都被认为是理所当然的，即使它们公然不适用（简单的参数拟合也很常见）。由于这是我的一个小烦恼，我想在这里花点时间将标准地质统计学方法与计算机视觉技术进行对比，以展示如何放松静止假设。

考虑具有方差的零均值固定随机场的常见地质统计学范式。通常地统计学不直接使用协方差函数，而是使用变异函数，定义为一些滞后$z[\mathbf{x}]$$\sigma^2$$\mathbf{h}$

$$\gamma[\mathbf{h}]\equiv\langle (z[\mathbf{x}+\mathbf{h}]-z[\mathbf{x}])^2\rangle=2(\sigma^2-\kappa[\mathbf{h}])$$

其中是（自）协方差函数，最后一个等式来自扩展平均值中的项并调用平稳假设。$\kappa[\mathbf{h}]$

计算机视觉中通常使用非常相似的结构，但派生方式有所不同。如果我们假设是可微的，那么我们可以将变异函数近似为$z$

$$\gamma[\mathbf{h}]\equiv\langle (z[\mathbf{x}+\mathbf{h}]-z[\mathbf{x}])^2\rangle\approx\langle (\mathbf{S}[\mathbf{x}]^T\mathbf{h})^2\rangle=\mathbf{h}^T\langle \mathbf{S}\mathbf{S}^T\rangle\mathbf{h}\equiv\mathbf{h}^T\mathbf{T}\mathbf{h}$$

其中是的梯度，被称为结构张量。$\mathbf{S}$$z$$\mathbf{T}$

地统计变异函数和结构张量之间的一个关键区别是后者不被假定为静止的。相反，用于描述图像（或 3D，例如地震或医学成像数据）中的局部纹理。一个简单的谷歌图像搜索将显示大量非平稳结构的例子，这可能是常态（即经典的地质统计学假设通常是无效的）。$\mathbf{T}$

编辑：这个关于“ Lena ”的结构张量演示（来自 Gabriel Peyre 的Matlab工具箱）很好地说明了张量场捕获的纹理信息。