通常谈论线性相关，Pearson's$r$, 在两个随机变量之间$\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)\}$有两个组成部分：a) copula 和 b) 的边际分布$x$和$y$. 相比之下，秩相关，Spearman 的$\rho$, 仅取决于 copula。

提醒一下，计算$r$和$\rho$是相同的，除了在$\rho$，变量首先转换为有序等级$R(.) = 1,2,\ldots, n$.

$$r = \frac{\operatorname{Cov}(x_i,y_i)}{\sqrt{\operatorname{Var}(x_i)}\sqrt{\operatorname{Var}(y_i)}} \quad, \quad \rho = \frac{\operatorname{Cov}(R[x_i],R[y_i])}{\sqrt{\operatorname{Var}(R[x_i])}\sqrt{\operatorname{Var}(R[y_i])}} .$$

根据定义，排名遵循均匀分布。让我们进一步假设非转换的正态双变量分布$x$和$y$.

现在我的问题是：我想表达$\rho$作为一种转变$r$. 看起来这应该是一个相当简单的函数，它以某种方式涉及法线到制服之间的映射。

我的直觉$\rho$是它是一个加权函数$r$在分布中间的小距离上放置大权重；同样，这似乎与正态分布本身成正比。

有没有人能算出具体的表达方式？