我只是想知道，当比较两个估计器说 T1 和 T2 时，说 T1 比 T2 更有效是什么意思

https://en.wikipedia.org/wiki/Efficiency_（统计）

对于无偏估计器，效率是估计器的精度（方差的倒数）除以精度的上限（即 Fisher 信息）。等效地，它是方差的下限（Cramer-Rao 界）除以估计量的方差。

两个无偏估计器的相对效率是它们的精度之比（边界抵消）

当您处理有偏差的估计量时，相对效率是根据 MSE 的比率来定义的。

有人可以举一个简单但非常具体的例子。

比较样本均值 ($\bar{x}$) 和样本中位数 ($\tilde{x}$) 当试图估计$\mu$在正常。

他们都是公正的，所以我们需要每个人的方差。奇数样本量的中位数方差可以从$k$th 阶统计量，但涉及正态的 cdf。在大样本中$\frac{n}{\sigma^2}\text{ Var}(\tilde{x})$合理快速地逼近渐近值，因此人们倾向于关注渐近相对效率。

中位数与均值的渐近相对效率作为$\mu$at normal 是当样本来自正常总体时，均值的方差与中位数的（渐近）方差的比率。

这是$\frac{\sigma^2/n}{2\pi \sigma^2/(4 n)} = 2/\pi\approx 0.64$

这里讨论了另一个例子：相对效率：平均偏差与标准偏差

如果我们不知道 θ，那么如何在上述不等式中证明一个小于另一个。

通常，MSE 将具有以下功能$\theta$和$n$（尽管它们可能独立于$\theta$）。所以在任何给定的$\theta$您可以计算它们的相对大小。

我还认为参数 θ 有一个“真”值，对吗？

是的，至少在通常情况下，我们会这样做并假设一个常客框架。

那么在上面的陈述中说“对于θ的某些值”是什么意思[...]如果只有一个，为什么它说“对于某些”θ值

当您比较估算器时，您希望估算器的每个值都表现良好$\theta$. 如果你不知道什么$\theta$是（如果你这样做了，你就不必费心估算器了），如果它对你拥有的任何价值都能很好地工作，那就太好了。