也许其他人可以解释其背后的数学原理，但考虑一下这个快速演示：我生成了五个向量，每个向量长 100 个数字。这些向量中的每一个都具有不同的比例，因此我将它们标准化（即，创建 z 评分变量）。也就是说，对于这五个潜在构造变量中的每一个，均值为零，标准差为 1：

set.seed(1839)

## create five different z-score variables that represent latent constructs
data <- data.frame(
  latent_construct_1 = scale(rnorm(100, 10, 4)),
  latent_construct_2 = scale(rnorm(100, 3, 18)),
  latent_construct_3 = scale(rnorm(100, -5, 7)),
  latent_construct_4 = scale(rnorm(100, 0, 8)),
  latent_construct_5 = scale(rnorm(100, 20, 20))
)

让我们检查以确保它们实际上是 z 分数：

> sapply(data, mean)
latent_construct_1 latent_construct_2 latent_construct_3 latent_construct_4 latent_construct_5 
     -2.203951e-16       1.634435e-17       1.400464e-17      -1.449145e-17       7.852226e-17 
> 
> sapply(data, sd)
latent_construct_1 latent_construct_2 latent_construct_3 latent_construct_4 latent_construct_5 
                 1                  1                  1                  1                  1 

所以，现在假设我们将所有这五个平均起来：

## make a mean of all of these latent constructs
data$mean_latent_construct <- rowMeans(data)

这个新变量是 z 分数吗？我们可以检查平均值是否为零，标准差是否为一：

> ## is the mean zero?
> mean(data$mean_latent_construct)
[1] -2.436148e-17
> 
> ## is the standard deviation one?
> sd(data$mean_latent_construct)
[1] 0.4599126

该变量不是 z 分数，因为标准差不是 1。但是，我们现在可以对这个均值变量进行 z 评分。让我们这样做并比较分布：

## z-score the mean latent construct
data$mean_latent_construct_z <- scale(data$mean_latent_construct)

## compare distributions
library(tidyverse)
data <- data %>% 
  select(mean_latent_construct, mean_latent_construct_z) %>% 
  gather(variable, value)

ggplot(data, aes(x = value, fill = variable)) +
  geom_density(alpha = .7) +
  theme_light()

z-scores 的 z-score 聚合变量看起来与 z-scores 的聚合变量有很大不同。

简而言之：不，z 评分变量的平均值不是 z 评分本身。

没有。中心极限定理应该提供一些见解。或者您可以诉诸总和的差异。如果包含要一起平均的个独立 z 分数（均值 0，方差 1），则均值具有方差：$X_1, X_2, \ldots, X_p$$p$

然而，这个数量可以缩放，因为法线的总和是正常的，这将满足 Z 分数的标准。