一个的pdf$\chi^2$分布是 $f(x;k)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}\exp(-x/2).$

所以我们只需要评估表达式$f(0;k)$.

$$f(0;1)=\infty$$ $$f(0;2)=0.5$$ $$f(0;3)=0$$ 等等。用于此的 R 代码dchisq(0,k)用于某些积极的k. 它真的只对$k= 2$因为$f(0;k)$是无限的$0<k<2$和 0 为$k>2$.

让我们试着回到这个分布的定义，看看在 0 附近会发生什么。

根据定义，$\chi^2$ 分布是独立正态随机变量平方和的分布：

$$Y = \sum_{i=1}^k Z_i^2 ,$$ （参见维基百科页面）。我们很容易看到密度的值是$0$为了$k\geq 3$和$.5$为了$k=2$. 为了$k=1$，情况有点不同。

让我们考虑这种情况来解决您的问题：通过改变变量，我们有$y=g(z)=z^2$这样：

$$f_Y(y) = \left| \frac{d}{dy} (g^{-1}(y)) \right| \cdot f_Z(g^{-1}(y))\\ = \left| \frac{d}{dy} (\sqrt{y}) \right| \cdot f_Z(\sqrt{y})\\ = \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}\pi} \exp(-y/2)$$

我们了解一个基本事实，即$\chi_1$未定义于$0$因为此时的平方运算是平坦的$g(0)=0$因此$g^{-1}(0)$未定义（无限）。