机器算法验证 - 关于伯努利随机变量在总和必须为1的约束下的联合分布问题 - 吾爱随笔录

关于伯努利随机变量在总和必须为1的约束下的联合分布问题

机器算法验证分布联合分配伯努利分布约束

2022-03-16 19:53:15

我在工作中遇到了一个问题。谁能帮我给我伯努利随机变量的联合分布，但在这些随机变量的总和必须为的约束下。 $n$ $n$ $1$

谁能告诉我如何推导出这个分布？

2个回答

这是一个分类分布，也称为试验次数等于的多项分布。 $1$

如果二项式概率是那么多项式概率是 $q_k, \;k=1,\dots n$

p_{k} = \frac{q_{k} \prod_{j \neq k} (1 - q_{j})}{\sum_{r} q_{r} \prod_{s \neq r} (1 - q_{s})}

$p_k=\frac {q_k\prod_{j\neq k} (1-q_j)}{\sum_r q_r\prod_{s\neq r}(1-q_s)}$

要得出这一点，您只需使用条件概率其中是事件“变量等于 ”，是事件“所有变量的总和等于1"。然后您可以推断，对于和都为真，所有其他伯努利变量必须为零。这个概率是我之前给出值的分子。然后使用总概率和独立定律以及我给出的分母。 $p (A_k|B)=p (A_kB)/p (B)$ $A_k$ $k$ $1$ $B$ $n$ $A_k$ $B$ $p_k$ $p (B)=\sum_r p (A_rB)$

变量和为的方式只有种：其中一个等于，另一个等于 0。问题的措辞表明变量是可交换的：因此，当变量被置换时，联合分布不会改变。由于变量的排列只是将这些结果中的每一个改变为其他结果，因此它们都是同样可能的。因此，分布是这结果的均匀分布，每个结果的概率。这充分描述了联合分布。 $n$ $1$ $1$ $n-1$ $n$ $1/n$

编辑

最初的问题既不假定可交换性，也不假定独立性。但是如果不做一些这样的假设，我们唯一能得出的结论是联合分布是我描述可能结果的某种分布。根据概率公理的要求，概率可以是任何个总和为 1 的非负值。 $n$ $n$

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