机器算法验证 - 认为X1X2, . . . ,XnX1X2,...,Xn是nn自变量，是它们的协方差矩阵，ΣΣ，对角线？ - 吾爱随笔录

机器算法验证协方差独立

2022-04-06 01:10:51

假设我有 $n$ 变量 $X: X_1, X_2, ..., X_n$ 是相互独立的。

这意味着：如果 $i≠j$ ，然后 $\text{Cov}(X_i, X_j) = 0$

因此，我想知道他们的协方差矩阵 Sigma 是否应该是对角矩阵......

有人确认最后一点？？

谢谢

PS：维基百科中定义的协方差矩阵sigma：https ://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix

1个回答

独立意味着零相关（但反过来不成立）：

$\:\:E(XY)=\int\int \,x\,y\, f(x,y)\, dy \,dx$

$\qquad\qquad=\int\,\int x\,y \,f(x)\,f(y)\, dy\, dx\quad$ （独立）

$\qquad\qquad=\int\, y\, f(y)\, dy\,\cdot\,\int\, x \,f(x)\, dx$

$\qquad\qquad=E(X)\,E(Y)$

因此 $\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0$

因此，协方差矩阵中的每个非对角项都应为 0。

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