机器算法验证 - Edgeworth扩展的核平滑 - 吾爱随笔录

Edgeworth扩展的核平滑

机器算法验证内核平滑近似平滑指示函数

2022-03-29 01:41:34

假设我有一个在目标函数中包含指示函数的估计器，那么目标函数不是平滑的。但是，如果我想在小样本中近似这个估计器的行为，我需要有一定数量的高阶导数，这样我才能应用通常的近似方法，如 Edgeworth、van Mises 或 Taylor 展开。我对御剑扩展特别感兴趣。

是否有可能用内核以某种方式平滑目标函数，以便我可以应用 Edgeworth 展开？我想过用对称绑定内核替换指标，但我不确定这是否可行。任何帮助，将不胜感激！

1个回答

我不知道您正在考虑什么估算器，但您提出的建议肯定已经做过。

Horowitz (1998) 研究了 bootstrap 是否可以用于中值回归的渐近细化。他面临与您相同的问题，因为目标函数有一个嵌入指标，其中指示符为负残差之一。问题是当时，我们处于检查函数。更改为来“平滑”这个目标函数其中是对称的并且以

\hat{β} = m i n_{β} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} [q - 1 (u_{i} < 0)] u_{i}

$\widehat{\beta} = min_{\beta} \frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1} [q-1(u_i <0)]u_i$

u_{i} = 0

$u_i = 0$

ρ (u_{i}) \equiv [q - 1 (u_{i} < 0)] u_{i}

$\rho (u_i) \equiv [q-1(u_i <0)]u_i$

ρ (u_{i})

$\rho (u_i)$

ρ^{S} (u_{i}) \equiv [2 K (\frac{u_{i}}{h}) - 1] u_{i}

$\rho^{S}(u_i) \equiv \left[2K\left(\frac{u_i}{h}\right) -1 \right]u_i$

K (\cdot)

$K(\cdot)$

K \in [- 1, 1]

$K \in [-1,1]$ 具有满足如果和如果的可微函数。在这种情况下类似于内核函数的积分，但不是内核本身。Horowitz (1998) 然后将 bootstrap 应用于渐近细化 - 这是与您计划做的唯一区别，但推理是相似的。为此，他需要平滑的目标函数。

K (ν) = 0

$K(\nu)=0$

ν \leq - 1

$\nu \leq -1$

K (ν) = 1

$K(\nu) = 1$

ν \geq 1

$\nu \geq 1$

K

$K$

其他论文已将指标替换为 Kaplan 和 Sun (2012) 或 Whang (2006) 等内核。如果我没记错的话，Kaplan 和 Sun (2012) 论文使用内核平滑器，然后应用 Edgeworth 展开来进行渐近改进，但我现在还没有准备好细节。如果您对此问题有进一步的兴趣，我会在下面发布参考资料。

参考

Horowitz, JL (1998) “中值回归模型的引导方法”，计量经济学，卷。66(6)，第 1327-1351 页 [链接]
Kaplan, DM 和 Sun, Y. (2012)“工具变量分位数回归的平滑估计方程”，加州大学圣地亚哥分校工作论文 [链接]
黄，Y.-J。(2006) “分位数回归模型的平滑经验似然方法”，计量经济学理论，卷。22(2)，第 173-205 页 [链接]

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