机器算法验证 - 比较两个高斯样本的最大值 - 吾爱随笔录 - 问答

比较两个高斯样本的最大值

机器算法验证样本极值

2022-03-23 01:51:46

假设和都是正态分布的，其中和其中。考虑和次独立绘制。作为的抽签的样本最大值大于的最大值的概率是多少？ $X$ $Y$ $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ $Y \sim \mathcal{N}(c,1),$ $c > 0$ $n$ $X$ $Y$ $n \rightarrow \infty,$ $Y$ $X$

1个回答

我找到了答案，主要归功于 whuber 的评论。让和和的样本最大值。和的缩放版本都是 Gumbel 分布的 [来源 1]，两个 Gumbel 之间的区别是逻辑 [来源 2]。具体来说，我们有 $M_y$ $M_x$ $Y$ $X$ $M_y$ $M_x$

\sqrt{2 \ln n} (M_{y} - M_{x} - c) \overset{d}{\to} L (0, 1),

$\sqrt{2 \ln n}~(M_y-M_x-c) \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal{L}(0,1),$

其中且尺度（标准差）的逻辑分布。根据通常的近似，我们有 $\mathcal{L}(0,1)$ $0$ $1$

(M_{y} - M_{x}) \approx L (c, \frac{1}{\sqrt{2 \ln n}}) .

$(M_y-M_x) \approx \mathcal{L}\left(c,\frac{1}{\sqrt{2 \ln n}}\right).$ 使用逻辑分布的 cdf [来源 2]，我们得到

P (M_{y} > M_{x}) \approx \frac{\exp (\sqrt{2 \ln n} \times c)}{1 + \exp (\sqrt{2 \ln n} \times c)} .

$P(M_y > M_x) \approx \frac{\exp\left(\sqrt{2\ln n}\times c\right)}{1+\exp\left(\sqrt{2\ln n}\times c\right)}.$

这个近似公式意味着确实收敛到，但速度非常（！）慢。例如，如果等于 100 万且，则概率仅为 %。 $P(M_y > M_x)$ $1$ $n$ $c = 0.1$ $62.84$

参考：

来源 1 - http://sfb649.wiwi.hu-berlin.de/fedc_homepage/xplore/tutorials/sfehtmlnode90.html

来源 2 - http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_distribution

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