对 OP 的简短回答

不一定，这取决于扩展凸锥是否通过改变$\lambda_i$在您的参数空间范围之外可以覆盖整个平均参数空间。一种情况是您的指数模型被过度参数化，您无法通过改变来“填充”整个空间$\lambda$的; 另一种情况是你的指数族是弯曲的，这样的尝试也失败了。另请参阅我的答案这里

我真的不想把这个答案变成对平均参数空间的阐述（也许是 [Brown]，但远未完成），但根据后续的讨论，这似乎是不可避免的。我真的不知道是否有专门讨论平均参数空间的论文，但平均参数空间给出了概率测度族的自然表示，因此在凸分析中很方便。在大多数统计应用中，可微性对于现实来说太强了。

$\bullet$当其他假设微不足道或过于复杂而无法形式化时，通常只假设可微性 wrt 参数保证某种一致性。例如引导方法。

$\bullet$连续性 wrt 参数是一个相当温和的假设，即使收集的数据似乎是离散的，我们有时也想假设它。连续性将允许进行某种局部推理，但某些优化技术失去了作用。例如最快梯度法。

$\bullet$Convexity wrt parameters 是三个假设中最弱的假设，但即使如此，我们也不总是想假设。例如凹损失函数。

引入平均参数空间是为了给“凸族”一个有用的表示。后来在正性[Karlin]的研究中，发现平均参数空间和pms族之间的对偶性非常有用。还有其他动机，例如来自凸分析的 Frenchel 对偶性，这解释了我们研究平均参数空间的原因。但是你可以看到，在希尔伯特空间之后，通常会引入某种次梯度来对凸空间进行建模。

现在我们解释为什么平均参数空间很重要。为凸锥定义双锥$C\subset\mathbb{R}^{n+1}$ $C^+:=\{v\in\mathbb{R}^{n+1}:<v,u>\geq 0,\forall u\in C\}$对于一个特殊情况，卡林-沙普利表示定理[Karlin&Shapley]告诉我们，与族相关的矩空间对偶锥的极端射线/点正好位于参数空间的边界。

如果充分统计，充分家庭能达到什么样的价值？$S(X)$也是完整的，并且与参数空间具有相同的维度， 这意味着指数族的结构是线性的，那么我相信只要参数空间没有退化边界，期望$ES(X)$足够的统计量可以横断所有值。从几何学的角度来看，只有当双锥退化时，才能横穿整个空间，达到所有“可能的值”$ES(X)$可能有。

当它不完整或过度参数化或弯曲时，我不确定。

在你的第二个例子中，矩空间的双锥实际上是一个严格的锥，而在第一个例子中是一个退化锥（整个$\mathbb{R}\times\mathbb{R}$，想象一下圆锥的直径趋于$\infty$）。但我仍然不清楚你是如何达到你声称的结果的。

参考

[Brown]Brown, Lawrence D. “统计指数族的基础知识在统计决策理论中的应用”。讲义-专着系列 9 (1986): i-279。

[卡林]卡林，塞缪尔。总体积极性。卷。1. 斯坦福大学出版社，1968 年。

[Karlin&Shapley]Karlin、Samuel 和 Lloyd S. Shapley。矩空间的几何。第 12 号。美国数学学会，1953 年。