...我们为什么要研究和使用它？

我认为您的优势列表有效地回答了您自己的问题，但让我提供一些可能阐明该主题的元数学评论。一般来说，数学家喜欢将概念和结果概括到他们所能做到的最大点，到他们有用的极限. 也就是说，当数学家发展一个概念，并发现一个或多个有用的定理适用于该概念时，他们通常会越来越多地试图推广这个概念和结果，直到他们到达进一步推广会使结果不适用的地步或不再有用。从您的列表中可以看出，指数族附有许多有用的定理，并且它包含广泛的分布类别。这足以使它成为一个值得研究的对象，并在实践中成为一门有用的数学课。

任何人都可以提供任何其他优势吗？

该类在贝叶斯分析中具有各种良好的性质。特别是，指数族分布总是具有共轭先验，并且由此产生的后验预测分布具有简单的形式。这是贝叶斯统计中非常有用的一类分布。实际上，它允许您使用共轭先验以极高的通用性进行贝叶斯分析，包括指数族中的所有分布族。

我想说指数族最引人注目的动机是它们是给定测量值的最小假设分布。如果您有一个实值传感器，其测量值通过均值和方差进行汇总，那么您可以对其观察结果做出的最小假设是它们是正态分布的。每个指数族都是一组相似假设的结果。

Jaynes 反对最大熵的这一原则：

“可以断言最大熵分布的积极原因是它被唯一地确定为关于缺失信息的最大不确定性，而不是没有理由不考虑的消极原因。因此，熵的概念提供了缺失的选择标准……”