假设是具有密度的单位指数分布的独立同分布。（您可以将结果调整为其他速率）。但是，每个打电话之前的等待时间实现，并且以概率通话没有完成，我们没有观察到。已实现调用的数量具有二项分布。因此，重新排序变量，以便实现的调用（以为条件）为。那么，假设$X_1,X_2,\dotsc,X_N$$f(x) = e^{-x}, x\ge 0$$X_i$$i$$p$$1-p$$X_i$$r$$\text{bin}(N,p)$$r$$X_1,\dotsc,X_r$$K\le r$，您询问了订单统计量的分布。现在，指数阶统计的理论特别简单，所以，使用从书中得到的结果：Barry Arnold：“A First Course in Order Statistics”，我不会在这里重新推导（但证明真的很简单，可以在这里找到：https ://math.stackexchange.com/questions/80475/order-statistics-of-iid-exponentially-distributed-sample ），将订单统计数据转换为指数间距，由 那么令人惊讶和简单的结果是变量是 iid 分布单位指数。$X_{K:r}$

$$Z_1 = r X_{1:r}, \\ Z_2 = (r-1)(X_{2:r}-X_{1:r}) \\ \vdots \\ Z_r = X_{r:r}-X_{r-1:r}.$$ $Z_1, Z_2, \dotsc,Z_r$

通过一些代数我们得到具有相同的分布 ，即独立指数随机变量的线性组合。如果线性组合中的所有系数都相等，这将是一个伽马分布。例如，现在它是一个更复杂的分布，已在http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610928308828483?journalCode=lsta20中进行了研究。$X_{K:r}$$\sum_{i=1}^K \frac1{r-i+1} Z_i$

现在，您需要决定在的情况下要做什么。除了这个问题，您现在需要的只是的二项式分布。$K>r$$X_{K:r}$$r$

如果 N 是固定的并且 K 是随机的，那么成功的次数 K 是这样的。如果 N 也是固定的，则不能保证对于任何固定的 K 都能获得 K 次成功。$K \sim Bin(N,p)$

或者，如果 N 是随机的且 K 是固定的，并且您想知道试验次数 N 的分布，直到获得 K 次成功，则 N（注意不同的文本有不同的定义负二项式的 - 有时他们只计算失败而不是总试验）。$\sim NegBin(K,p)$

k 个 IID 标准 Expos 的总和是 Gamma(k,1)。

假设负二项式场景，您有和。$T \mid N \sim Gamma(N,1)$$N \sim NegBin(K,p)$

我不知道这个分层模型是否有一个很好的公式，但是您应该能够使用总期望定律轻松获得期望，以 N. E(T) = E(E(T|N)) 为条件

时间是 iid 指数分布阶统计量，是参数为的二项式分布。每个订单统计信息的分布如下所述的此解决方案中，您将其混合在的结果中。$K$$N'$$N'$$N, p$$N'$

设为的比率。指数分布的一阶统计量与速率 λ 呈指数分布，因为就好像泊松过程相互竞争，并且获胜者的时间与叠加的等待时间相同。二阶统计量增加了一个具有速率的指数分布，因为少了一个泊松过程，以此类推……$\lambda$$T$$N'$$\lambda$$N' \lambda$$N'$$(N'-1)\lambda$