机器算法验证 - 具有连续性校正的 Berry-Esseen 定理 - 吾爱随笔录

给定独立但不相同的随机变量其中和有限的绝对三次矩令与 cdf然后根据 Berry_Esseen 定理，我们可以用正态近似其中是标准的正常 cdf。[以上内容根据维基百科稍作修改。] $X_1, X_2, \ldots ,X_n$ $E[X_i]=0,$ $E[X_i^2]=\sigma_i^2=1$ $\rho_i=E[|X_i|^3].$

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$S_n = {\sum_{i=1}^n X_i}$

F_{n} .

$F_n.$

F_{n}

$F_n$

| F_{n} (x) - Φ (\frac{x}{\sqrt{n}}) | \leq 0.56 \sum_{i = 1}^{n} ρ_{i},

$\left|F_n(x) - \Phi \left( {{x} \over {\sqrt{n}}} \right) \right| \leq 0.56 \sum_{i=1}^n \rho_i,$

Φ (x)

$\Phi(x)$

现在假设是离散的，取整数值。在实践中，我们将使用 $X_i$

F_{n} (x) \approx Φ (\frac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{n}}) .

$F_n(x) \approx \Phi \left( { { {{x+{{1} \over {2}}}} } \over {\sqrt{n}}} \right).$

连续性校正旨在提供更高的准确性。这可以量化吗？也就是说，是否存在形式为

| F_{n} (x) - Φ (\frac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{n}}) | \leq k \sum_{i = 1}^{n} ρ_{i} ?

$\left| F_n(x) - \Phi \left( { { {{x+ {{1} \over {2}}}} } \over {\sqrt{n}}} \right) \right| \leq k \sum_{i=1}^n \rho_i \ \ ?$