查看通过仅保留|X|的大值定义的随机变量序列\{Y_n\} : Y_n:=|X|I(|X|>n)。很明显Y_n\gen nI(|X|>n)，所以E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1注意Y_n\to0和|Y_n|\le |X| 对于每个n。因此，(1) 的 LHS 通过主导收敛趋向于零。$\{Y_n\}$$|X|$

$$Y_n:=|X|I(|X|>n).$$ $Y_n\ge nI(|X|>n)$ $$E(Y_n)\ge nP(|X|>n).\tag1$$ $Y_n\to0$$|Y_n|\le |X|$$n$

我可以为连续随机变量提供答案（肯定有更一般的答案）。设：$Y=|X|$

$$\mathbb{E}[Y]=\int_0^\infty yf_Y(y)\text{d}y=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+\int_n^\infty yf_Y(y)\text{d}y\ge\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+n\int_n^\infty f_Y(y)\text{d}y=\dots+n\left(F_Y(\infty)-F_Y(n)\right)=\dots+n(1-F_Y(n))=\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y+nP(Y\gt n)$$

因此

$$0\leq nP(Y\gt n)\le\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)$$

现在，由于假设是有限的，我们有$\mathbb{E}[Y]$

$$\lim_{n\to \infty}\left(\mathbb{E}[Y]-\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y\right)=\mathbb{E}[Y]-\lim_{n\to \infty}\int_0^n yf_Y(y)\text{d}y=\mathbb{E}[Y]-\mathbb{E}[Y]=0$$

然后

$$\lim_{n\to \infty}nP(Y\gt n)=0$$

由三明治定理。

$E\left | X \right |< \infty \Leftrightarrow E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\rightarrow 0$（一致可积）

$E\left | X \right |=E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}+E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |\leq n}$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\leq E\left | X \right |< \infty$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}\geq nE\mathbb{I}_{\left | X \right |>n}=nP\left ( \left | X \right |>n\right )$

$E\left | X \right |\mathbb{I}_{\left | X \right |>n} \rightarrow 0 \Rightarrow nP\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0 \Rightarrow P\left ( \left | X \right |>n\right )\rightarrow 0$

即$\underset{n\rightarrow \infty}{\lim} P\left ( \left | X \right |>n\right )=0$