Gareth Roberts 等人的原始方法。是研究第一个坐标过程的极限分布$X^{(1)}_n$, 加速了一个因素$d$. 这导致了限制过程$Z_t = X^{(1)}_{\lfloor t d \rfloor}$.

• 如果你把$\alpha < 1/2$（大步），可以证明渐近地没有一个提议的移动将被接受，所以这个过程$(Z_t)$几乎可以肯定是恒定的。
• 同样，如果$\alpha > 1/2$（小步），渐近所有的移动都将被接受，但移动是如此之小，所以再次限制过程$(Z_t)$几乎可以肯定是恒定的。
• 最后，只为$\alpha = 1/2$，我们得到一个非平凡的限制过程（恰好是朗之万扩散）。

这是其中的方式$\alpha = 1/2$可以认为是最优选择。有关此结果的更准确的陈述和证明，请参阅非常易读的原始研究论文。

Roberts, GO, Gelman, A., & Gilks​​, WR (1997)。随机游走 Metropolis 算法的弱收敛和最优缩放。应用概率年鉴，7（1），110-120。https://doi.org/10.1214/aoap/1034625254

结果随后以各种方式扩展：例如查看高维过程的不同函数（而不是第一个坐标），以及更一般的分布假设。还研究了不同的 Metropolis-Hastings 算法，例如 MALA 算法，它被证明只需要时间加速$d^{1/3}$代替$d$为了收敛。您正在阅读的调查报告中也对此进行了讨论。