假设我对一个定量变量进行了 10 次重复测量$X$两组中的个人（我们称他们为 A 和 B）。对于每个组，我都有变量的估计均值$X$在 10 个时间点，即

$$\hat{\mu}_1^A, \hat{\mu}_2^A, \ldots, \hat{\mu}_{10}^A$$ 和 $$\hat{\mu}_1^B, \hat{\mu}_2^B, \ldots, \hat{\mu}_{10}^B,$$ 和相应的$10 \times 10$这些估计的方差 - 协方差矩阵。

的测试

$$H_0: \mu_t^A = \mu_t^B$$ （为了$t = 1, \ldots, 10$) 可以很容易地使用 Wald 型测试（对多重测试进行适当的校正）进行： $$z = \frac{\hat{\mu}_t^A - \hat{\mu}_t^B}{\sqrt{Var(\hat{\mu}_t^A) + Var(\hat{\mu}_t^B)}}.$$

现在我想测试每组内最大值的时间点在两组之间是否不同。我想原假设可以写成

$$H_0: t = t' \; \text{for} \max({\mu}_t^A) \; \text{and} \max({\mu}_{t'}^B).$$ 有什么方法可以测试它？

编辑：一些 R 代码来模拟要玩的数据。

library(MASS)

### number of individuals in the two groups
n1 <- 50
n2 <- 50

### assume a flat trajectory with a single peak at times 4 and 6 in the respective groups
mu1 <- rep(0,10)
mu2 <- rep(0,10)
mu1[4] <- 1
mu2[6] <- 1

### make the raw data autocorrelated with an AR1 structure
V1 <- 5 * toeplitz(ARMAacf(ar=.7, lag.max=9))
V2 <- 5 * toeplitz(ARMAacf(ar=.7, lag.max=9))

### simulate raw data
X1 <- mvrnorm(n1, mu1, V1)
X2 <- mvrnorm(n2, mu2, V2)

### observed means over time in each group
m1 <- apply(X1, 2, mean)
m2 <- apply(X2, 2, mean)

### find time of the maximum mean in each group
tmax1 <- which(m1 == max(m1))
tmax2 <- which(m2 == max(m2))

### plot means over time in each group
plot(1:10, m1,  type="o", pch=19, ylim=range(c(m1,m2)), col="red", xlab="Time", ylab="Mean")
lines(1:10, m2, type="o", pch=19, ylim=range(c(m1,m2)), col="blue")
points(tmax1, max(m1), pch=19, cex=2, col="red")
points(tmax2, max(m2), pch=19, cex=2, col="blue")

以及结果图的示例。