机器算法验证 - 具有负形状参数的 Weibull 分布 - 吾爱随笔录

只是想知道为什么在文献中总是为正形状定义 Weibull 分布，而在负方向上的扩展是可能的并且具有许多有用的属性。

假设，即是 Weibull 分布的，形状和尺度，PDF $X \propto \mathrm{Weibull}(\theta, \lambda)$ $\theta > 0$ $\lambda > 0$

p_{X} (x) = \frac{θ}{λ} {(\frac{x}{λ})}^{θ - 1} e^{- {(x / λ)}^{θ}}, x > 0.

$p_X(x) = \frac{\theta}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{\theta-1}e^{-\left(x/\lambda\right)^\theta}, \quad x > 0.$

$Y=1/X$ 然后遵循逆 Weibull 分布，PDF 即如果允许负形，我们可以说（只是前面的必须替换为）。CDF/mean/mode 等也需要对负形状进行非常小的调整。

p_{Y} (y) = | {(1 / y)}_{y}^{'} | p_{X} (1 / y) = \frac{θ}{λ y^{2}} {(\frac{1}{λ y})}^{θ - 1} e^{- {(1 / λ y)}^{θ}} = \frac{θ}{λ^{- 1}} {(\frac{y}{λ^{- 1}})}^{- θ - 1} e^{- {(y / λ^{- 1})}^{- θ}} .

$p_{Y}(y) = \left|\left(1/y\right)'_y\right| p_X\left(1/y\right) = \frac{\theta}{\lambda y^2} \left(\frac{1}{\lambda y} \right)^{\theta-1} e^{-\left(1/\lambda y\right)^\theta} = \frac{\theta}{\lambda^{-1}} \left(\frac{y}{\lambda^{-1}}\right)^{-\theta-1} e^{-\left(y/\lambda^{-1} \right)^{-\theta}}.$

Y \propto W e i b u l l (- θ, λ^{- 1})

$Y \propto \mathrm{Weibull}(-\theta,\lambda^{-1})$

θ

$\theta$

p_{X} (x)

$p_X(x)$

| θ |

$|\theta|$

我想对于整个广义 Gamma 家族来说，同样的技巧是可能的，例如，逆 Gamma 将成为它的成员。