概括

选择权重以达到数学目的。在 Spencer 的案例中，目标是让三次趋势不失真地通过过滤器。这意味着如果我们分解输入$X_t$成确定性多项式趋势分量$m(t) \equiv c_3 t^3 + c_2 t^2 + c_1 t + c_0$和一个居中的随机分量$Y_t$, 这样$X_t \equiv m(t) + Y_t$， 然后$\mathcal F \left[ X_t \right] \to m_t$作为$\sigma_Y \to 0$， 在哪里$\mathcal F$是过滤操作。

例子

这是一个使用 Mathematica 的图解示例。我将把 Spencer 的过滤器与 15 抽头双边对称移动平均线进行比较。

n = 101; c = RandomReal[{-1, 1}, 4]; x = RandomVariate[NormalDistribution[0, .1], n];   
result = GraphicsGrid@{{ ListPlot@MovingAverage[x + Table[c.{1, t, t^2, t^3}, 
{t, -1, 1, 2/(n - 1)}], {-3, -6, -5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, -5, -6, -3}/230], 
ListPlot@MovingAverage[ x + Table[c.{1, t, t^2, t^3}, {t, -1, 1, 2/(n - 1)}], 15]}, 
{ListPlot@Table[c.{1, t, t^2, t^3}, {t, -1, 1, 2/(n - 1)}], 
ListPlot@{x + Table[c.{1, t, t^2, t^3}, {t, -1, 1, 2/(n - 1)}]}}}

从左上角顺时针方向：Spencer 滤波器的输出，对称滤波器的输出，噪声输入 ($X_t$), 三次趋势 ($m_t$）。这是与$c=\{-0.26988, -0.34137, 0.670082, 0.820887\}$（多项式系数，按次数升序排列）。

讨论

如您所见，由于权重为负，Spencer 的过滤器比对称过滤器更敏感。对称滤波器的低通效果有利于去噪（我们正在比较差异的范数）：

Part[#2, 8 ;; -8] - MovingAverage[#1 + #2, 15] & [x, 
Table[c.{1, t, t^2, t^3} , {t, -1, 1, 2/(n - 1)}]] // Norm

> 0.197244

对于对称滤波器与

Part[#2, 8 ;; -8] - MovingAverage[#1 + #2, 
{-3, -6, -5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, -5, -6, -3}/230] & 
[x, Table[c.{1, t, t^2, t^3} , {t, -1, 1, 2/(n - 1)}]] // Norm

> 0.411789

斯宾塞的。但是，它也扭曲了趋势（没有噪音的相同测试）：

Part[#2, 8 ;; -8] - MovingAverage[#2, 15] & [x, 
Table[c.{1, t, t^2, t^3} , {t, -1, 1, 2/(n - 1)}]] // Norm

> 0.097972

相对

Part[#2, 8 ;; -8] - MovingAverage[#2, 
{-3, -6, -5, 3, 21, 46, 67, 74, 67, 46, 21, 3, -5, -6, -3}/230] & 
[x, Table[c.{1, t, t^2, t^3} , {t, -1, 1, 2/(n - 1)}]] // Norm

> 4.05378*10^-16

进一步阅读

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