我认为这可以通过从顺序蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法中得出来回答。

构成您的问题的关键概念是探索-利用困境：

• 探索：你想尽可能多地覆盖定义$f$的空间；
• 开发：但理想情况下，您宁愿花时间对$f$值变化很大的地方进行采样，而不是在 f 值平坦的地方进行采样。

对于探索部分，准蒙特卡罗方法告诉我们选择低差异序列以尽可能有效地覆盖空间。在 2D 中，您选择的方法无关紧要。您基本上需要一个类似网格的结构，例如参见Sobol 序列。如果您只想尽可能多地探索，这可以回答您的问题（请参阅Koksma-Hlawka 不等式）。

对于开发部分，我们需要采用更动态的视角；不知何故，我们需要从已经存在的样本中学习，以便专注于对我们重要的地方，因为我们的样本越来越多。在这里，重要性抽样为我们提供了一种关注景点的方法。例如，如果我们有兴趣找到的峰值，给定一组个现有样本成比例的概率的邻域重新采样。在您的情况下，您可能希望在的梯度较大的地方重新采样。$f$$N$$(x_i, f(x_i))$$x_k$$f(x_k)$$f$

如何平衡探索和利用是一个没有答案的问题；这实际上取决于您的问题和可用资源。

要为您的问题提供具体答案，您可以考虑覆盖 2D 空间的 3x3 网格，每个单元格的中心都有一个样本。由此，您可以通过将获得的值与邻居进行比较来估计每个单元格中的“梯度”。然后迭代：

• 选择具有大梯度的单元格子集（以及可能随机选择的其他单元格），
• 用嵌套的 3x3 网格进一步划分它们；
• 在获得的每个较小单元格的中心评估$f$
• 通过与邻居获得的值进行比较，重新评估每个单元格中的“梯度”。

这将是采样的一种自适应方式。显然这只是一个解决方案的草图，还有很多细节需要解决（主要是如何比较不同大小的框之间获得的值，以及梯度估计的预期方差是多少）。$f$