这只是变量的标准变化；(monotone & 1-1) 变换是$y = \exp(x)$与逆$x=\log(y)$和雅可比$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y}$.

具有统一的先验$p_y(y) \propto 1$上$\mathbb{R}$我们得到$p_x(x) = p_y(x(y)) |\frac{dx}{dy}| \propto \frac{1}{y}$上$(0, \infty)$.

编辑：维基百科有一点关于随机变量的转换：http ://en.wikipedia.org/wiki/Probability_density_function#Dependent_variables_and_change_of_variables 。类似的材料将出现在任何介绍概率的书中。Jim Pitman 的“概率”也以一种非常独特的方式呈现了这些材料，以及 IIRC。

我们被告知，尺度参数在对数尺度上是一致的。这意味着如果 x 是比例参数，那么$y=\log(𝑥)$ 和分布函数$y$是对数尺度上的一个统一，$p_Y(y) \propto 1$.

然后，应用雅可比变换，即微分区域中包含的概率在变量变化下必须是不变的，我们必须有 $p_X(𝑥)=p_Y(y(x))|\frac{dy}{dx}|$. 自从$\frac{dy}{dx} \propto \frac{1}{x}$， 我们获得$p_X(𝑥) \propto \frac{1}{x}$.

注意：我尝试将此作为评论发布，但我没有发表评论的权限，因为我是新用户。当前接受的问题答案（由@JMS 给出）中有错误。我试图编辑@JMS 给出的答案以进行最少的必要更改，但我的编辑被拒绝，因为人们希望我将其作为评论或答案。首先，$p_𝑋(𝑥)$最终应该是$x$，不是 y 的函数。@JMS 的答案现在措辞的方式给出了$p_X(x)\propto\frac{1}{y}$. 其次，雅可比公式有一个错误，应该是$p_X(𝑥)=p_Y(y(x))|\frac{dy}{dx}|$; 现在它被给出为$p_X(𝑥)=p_Y(x(y))|\frac{dx}{dy}|$. 第三，$y=\log(𝑥)$， 不是$y=\exp(x)$，由于这个答案中解释的原因。

@JMS 的答案足以应付不断变化的变量的具体细节。但是，这个问题可能会帮助您了解为什么它在该规模上是统一的。

我对这个问题的回答通过@JMS 的回答中给出的“雅可比规则”结果的稍长推导。它可能有助于理解为什么适用该规则。