如果$\text{max}(\mathbb{E}[X], c) = c$，作为$\text{max}(X,c) \geq c$，我们有

$$\begin{align*} \mathbb{E}[\text{max}(X,c)] &\geq c \\ &\geq \text{max}(\mathbb{E}[X],c) \end{align*}$$

当$\text{max}(\mathbb{E}[X],c) = \mathbb{E}[X]$然后又是$\text{max}(X,c) \geq X$我们有

$$\begin{align*} \mathbb{E}[\text{max}(X,c)] &\geq \mathbb{E}[X] \\ &\geq \text{max}(\mathbb{E}[X],c) \end{align*}$$

所以不等式实际上是另一种方式

$$\mathbb{E}[\text{max}(X,c)] \geq \text{max}(\mathbb{E}[X], c)$$

类似于 winperikle 的答案，只是稍微收紧了论点： 和。因此，通过期望，和。结合，我们得到。$\max\{X, c\} \geq X$$\max\{X, c\} \geq c$$\text{E}\left(\max\{X, c\}\right) \geq \text{E} X$$\text{E}\left(\max\{X, c\}\right) \geq c$$\text{E}\left(\max\{X, c\}\right) \geq \max \{\text{E} X, c\}$

这些论点可以概括为表明对于一系列随机变量，. $\mathcal{L}_1$$(X_n)_{n\geq 1}$$\text{E} \left(\sup_{n \geq 1} |X_n| \right) \geq \sup_{n \geq 1} \text{E}|X_n|$

您断言的不等式是 false：一个简单的反例是和，这给了您期望：$X \sim \text{Bin}(2,\tfrac{1}{2})$$c=1$

$$\mathbb{E}(\max(X,c)) = \frac{3}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{5}{4}.$$

对于这个反例，我们有：

$$\frac{5}{4} = \mathbb{E}(\max(X,c)) > \max(\mathbb{E}(X),c) = 1.$$

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有一个相关的不等式是正确的：尽管您断言的不等式是错误的（或至少，通常不是正确的），但以下替代不等式是正确的：

$$\mathbb{E}(\max(X,c)) \geqslant \max(\mathbb{E}(X), c).$$

对于离散或连续（或混合）情况，可以很容易地证明这种不等式。对于离散随机变量，您有：

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E}(\max(X,c)) &= \sum_{x \in \mathscr{X}} \max(x,c) \cdot p_X(x) \\[8pt] &\geqslant \sum_{x \in \mathscr{X}} x \cdot p_X(x) = \mathbb{E}(X). \\[8pt] \end{aligned} \end{equation}$$

你还有：

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E}(\max(X,c)) &= \sum_{x \in \mathscr{X}} \max(x,c) \cdot p_X(x) \\[8pt] &\geqslant \sum_{x \in \mathscr{X}} c \cdot p_X(x) = c. \\[8pt] \end{aligned} \end{equation}$$

把这些放在一起就产生了不平等。

令 X 在 (0, 5) 中一致且 c=2。这里有一个反例，不等式的每一边都是 3.5 和 2.5