机器算法验证 - 带系数的正态独立随机变量之和 - 吾爱随笔录

带系数的正态独立随机变量之和

机器算法验证自习正态分布随机变量卷积力矩生成函数

2022-04-13 04:25:19

我试图围绕随机变量的线性变换（系数> 1）。

考虑两个随机变量和自变量 $X$ 和 $Y$ 在哪里：

X \sim N (0, 1) Y \sim N (- 1, 2)

$X \sim \mathcal{N}(0,1)\qquad Y \sim \mathcal{N}(-1, 2)$

我正在尝试确定 $Z = 2X + 3Y$ .

到目前为止的尝试：

我已经定义了两者的 MGF $X$ 和 $Y$ 作为：

\begin{aligned} M_{X} (s) & = \exp (s μ + σ^{2} s^{2} / 2) = \exp (s^{2} / 2) \\ M_{Y} (s) & = \exp (- s + s^{2}) \end{aligned}

$\begin{align*}M_X(s) &= \exp(s \mu + \sigma^2 s^2 / 2) = \exp(s^2/2)\\ M_Y(s) &= \exp(-s + s^2)\\ \end{align*}$

然后计划是计算 $U$ 作为：

$Z = 2X + 3Y = 2 \exp(s^2/2) \cdot 3 \exp(-s + s^2) = 6 \exp(3s^2/2 - s)$

这将我带入了死胡同，我不确定这是否是正确的方法，“新”MGF 看起来并不像我所知道的任何东西。

我考虑过使用卷积来尝试解决这个问题，但我不是 100% 同意这种方法。

在这个 Wikipedia 页面上提到了如何在系数 = 1 的情况下执行此操作，并且对于 coeffs > 1 有一个特殊情况（但是它未能对其进行扩展）。

我在 MATLAB 中做了一些模拟，从这两个高斯随机抽样，然后应用转换。结果表明解决方案应该是（假设代码正确）：

$Z \sim \mathcal{N}(-3, 22)$

3个回答

首先，让我注意到线性组合的系数小于或大于 1 并没有什么特别之处。

矩生成函数定义为

M_{X} (s) = E [\exp {s X}]

$M_X(s)=\mathbb{E}[\exp\{sX\}]$ 当这种期望存在时。考虑独立随机变量的线性组合，例如

2 X + 3 Y

$2X+3Y$ , 导致矩生成函数

\begin{aligned} (definition) & M_{2 X + 3 Y} (s) & = E [\exp {s (2 X + 3 Y)}] \\ = E [\exp {s 2 X} \exp {s 3 Y}] \\ (independence) & = E [\exp {2 s X}] E [\exp {3 s Y}] \\ (identification) & = M_{X} (2 s) M_{Y} (3 s) \\ (normality) & = \exp {4 s^{2} / 2} \exp {- 3 s + 9 s^{2}} \\ = \exp {22 s^{2} / 2 - 3 s} \end{aligned}

$\begin{align} M_{2X+3Y}(s)&=\mathbb{E}[\exp\{s(2X+3Y)\}]\tag{definition}\\&=\mathbb{E}[\exp\{s2X\}\exp\{s3Y\}]\\&=\mathbb{E}[\exp\{2sX\}]\mathbb{E}[\exp\{3sY\}]\tag{independence}\\&=M_X(2s)M_Y(3s)\tag{identification}\\&=\exp\{4s^2/2\}\exp\{-3s+9s^2\}\tag{normality}\\&=\exp\{22s^2/2-3s\}\end{align}$ 它唯一且完美地标识了一个

N (- 3, 22)

${\cal N}(-3,22)$ 分配。可以使用完全相同的步骤来确定两个独立正态变量的任何线性组合再次是正态变量。

使用 MGF 确定正态随机变量的线性组合是否正态。（MGF 唯一定义分布）
由于法线的总和是正常的，因此取期望和方差 $2X + 3Y$ 找到控制正态分布的参数。使用方差的性质： $V(\sum X_i) = \sum V(X_i)$ 如果 $X_i$ 是独立的。

（我假设你说错字了 $Z = 2X + 3Z$ 并且意味着 $Z = 2X + 3Y$ ）。

另外：您的模拟是正确的。

您不需要使用矩生成函数。两个独立正态随机变量的和是正态的，均值等于均值之和，方差等于方差之和。常数 c 乘以正态随机变量也是正态的，均值为 c $\mu$ 在哪里 $\mu$ 是原始法线的平均值，方差等于 $c^2$ $\sigma^2$ 在哪里 $\sigma^2$ 是原始法线的方差。

鉴于这种 $2X$ 是正常的，均值为 0，方差为 4。3Y 是正常的，均值为 -3，方差为 9(2)=18 因此 $2X+3Y$ 是正常的，均值为 -3，方差为 4+18 =22。

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