首先请注意，Beta 的 pdf$(\alpha, \beta)$分布仅定义为$\alpha, \beta > 0$. 这意味着当$\alpha \leq 0$或者$\beta \leq 0$

$$\int_0^1 \dfrac{x^{\alpha - 1} (1 - x)^{1 - \beta}}{B(\alpha, \beta)}$$ 不是有限的。现在， $$\begin{align*} E\left(\dfrac{1}{X} \right) & = \int_0^1 \dfrac{1}{x} \dfrac{x^{\alpha - 1} (1 - x)^{1 - \beta}}{B(\alpha, \beta)}dx\\ & = \int_0^1 \underbrace{\dfrac{x^{(\alpha - 1) - 1} (1 - x)^{1 - \beta}}{B(\alpha-1, \beta)}}_{\text{Beta}(\alpha-1, \beta)} \dfrac{B(\alpha-1, \beta)}{B(\alpha, \beta)} dx\\ & = \dfrac{B(\alpha-1, \beta)}{B(\alpha, \beta)} \text{ if $\alpha - 1$ > 0} \,. \end{align*}$$

因此当$\alpha > 1$, 期望$E(1/X)$是有限的并且如上所述（这可以根据 Nate Pope 的评论进一步简化）。否则，它是未定义的。

我想指出另一种有趣的解决方法，它也将结果推广到期望$X^{-m}$对于整数$m=1,2,3,\dots$. 我将使用矩生成函数 (mgf) 和 N Cressie 等人的论文中的结果http://amstat.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00031305.1981.10479334?journalCode=utas20 “矩生成函数和负整数矩”。

他们给出的结果是，当$X$是一个正随机变量，mgf$M_X(t)$它定义在原点的开放邻域中，那么我们有

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E X^{-m} = \Gamma(m)^{-1} \int_0^\infty t^{m-1} M_X(-t) \; dt$$ 对于正整数$m$.

众所周知，对于 beta 分布，mgf 由一个汇合的超几何函数给出

$$M_X(t) = {}_1F_1(\alpha;\alpha+\beta;t)$$ 所以使用上面的结果给出了 $$\E X^{-m} = \Gamma(m)^{-1} \int_0^\infty t^{m-1} {}_1F_1(\alpha;\alpha+\beta;-t)\; dt$$ 我在 maple 的帮助下评估了这个积分：

assume( a>0, b>0 );assume(m-1,posint)
GAMMA(m)^(-1) * int( t^(m-1)*hypergeom([a],[a+b],-t), t=0..infinity )
                   GAMMA(a + b) GAMMA(a - m)
                   -------------------------
                   GAMMA(a) GAMMA(a + b - m)

所以最后我们可以把结果写成

$$\E X^{-m} = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha-m)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\beta-m)}$$ 与其他答案一致$m=1$. 然后需要一些人类数学来得出结论，我们需要假设$\alpha > m$为有效。