这是理论数学中的一个常见问题，当您不必担心缺乏可微性时，它有助于分析。标准解决方案，有时称为“柔化”，是将密度与缩放的、以零为中心的、无限可微的密度（通常是紧支撑）进行卷积。通过将比例设置为接近零，您可以使近似值尽可能接近。

该图是柔化Uniform的一系列图$(0,1)$使用具有标准偏差的高斯缓​​和器的密度函数$1/4$（绿色），$1/10$（金子），$1/25$（红色），和$0$（蓝色：原始统一 PDF）。

很容易证明（使用卷积公式中的部分积分）当柔化器在任何地方都是无限可微的（又名“平滑”）时，柔化函数也是如此。

此类缓和剂家族的存在意味着，对于大多数目的，在考虑分布的属性时，您实际上不必考虑不可微分的密度（甚至是奇异分布，根据定义，它们在任何地方都没有密度）。奇异分布可能确实是“边缘情况”，但可以将它们视为具有平滑密度的分布的极限。

这种方法在统计应用中特别合适，因为柔化分布的许多特性很容易计算。例如，由于缓和器的方差与其尺度的平方成正比，如果我们选择具有单位方差的标准缓和器（如本例所示），则缓和均匀分布的方差等于均匀分布的方差（这里，$1/12$) 加上刻度的平方。因此，您立即知道具有标准偏差高斯的缓和$1/25$（如红色曲线所示）只会添加$1/(25)^2$到均匀分布的方差。您可以将标准偏差选择得如此之小，以至于它引起的方差变化对于您的目的而言可以忽略不计。

标准连续均匀分布 $\text{U}(a,b)$分布有一个连续的 CDF，除了其支持的边缘外，所有点都是可微的（在常规意义上），$x = a, b$. 由于概率论使用Radon-Nikodym 导数定义了密度函数，因此即使在这些端点处，我们仍然可以将值赋给密度函数。

鉴于在概率中使用 Radon-Nikosym 导数，我想不出任何情况下 CDF 缺乏（常规）可微性真的很重要。然而，如果您真的想用具有完全可微分布函数（在常规意义上）的分布来近似均匀分布，您可以用混合分布（例如，均匀分布的正态分布的混合）来近似密度。