TLDR；在计算机中，数字存储在有限的内存槽中。例如，数学中的整数是整数，例如 ...,-2,-1,0,1,2,3,... 可以从负无穷大到正无穷大的两个方向。在计算机中，这个数字可以用诸如int8_t或，情况更糟。这就是作者的意思。$\pi$$\sqrt 2$

只要你有时间，长答案就可以。例如，“每个计算机科学家都应该知道的关于浮点运算的知识”是任何在计算机上计算数字的人的必读书籍。我将谈到三个主题。

计算机整数缺乏数学整数的某些性质

不仅整数类型是有界的，而且它们还缺少一些您期望从整数中获得的属性。例如，在数学中，如果给定和，那么也是如此。然而，在计算机数学中可能并非如此。例如，以下代码输出与您期望的不同：$a>0$$b>0$$a+b>0$110111

#include <iostream>

int main() {
  short int a = 17000, b = 17000, r;
  std::cout << (a > 0);
  std::cout << (b > 0);
  r = a + b;
  std::cout << (r > 0);

}

计算机“真实”数字是可数的

数学中的实数是不可数的。这就是实数与整数和有理数的巨大差异。当Stevin引入实数的概念，例如时，这对欧洲数学来说是一个巨大的突破。它们填补了有理数之间的空白，例如 1/3。 $\sqrt 2$

尽管实数和整数的数量都是无限的，但实数比整数多。更奇怪的是，数学中正整数和负整数的数量是相同的:)

这些属性不会保留在计算机数学中。double例如，在 C++ 中，精度实数和long整数的数量完全相同，而且是有限的！准确地说是因此，应该是连续体的基数（幂集）等于整数（整数）的基数！$2^{64}$

任意精度数学

由于这些限制，一些深奥的数学问题不可能使用标准的机器算术来解决。因此，数学家为所谓的任意精度算术库创建了库，这些库可以极大地扩展存储在计算机中的数字范围。然而，“任意”仍然是一个有限的概念。当涉及到实数时，他们比标准机器算术更接近数学概念，但他们没有完全实现它。

浮点算术是对实数算术的一种近似。从某种意义上说，它是一个近似值，一个数字的所有数字都没有被存储，而是被截断到一定的精度水平。这会产生错误，因为无法存储诸如之类的具有无休止数字序列的值（因为您没有足够的内存来存储无休止的数字序列）。这就是“有限精度”的含义：只存储最大的数字。$\sqrt{2}$

浮点值表示在某个公差范围内，称为机器 epsilon 或 ，这是由于舍入导致的相对误差的上限。$\epsilon$

当您组合具有有限精度的多个操作时，这些舍入误差会累积，从而导致更大的差异。

在奇异值为零的情况下，这意味着由于舍入误差，一些真正为零的奇异值将被存储为非零值。

一个例子：一些矩阵有奇异值。但是您的 SVD 算法可能会返回奇异值或类似的小数字。最终值在数字上为零；在算法的数值容差范围内为零。$A$$[2,1,0.5,0]$2.0, 1.0, 0.5, 2.2e-16

浮点标准由 IEEE 754 管理。