数据的任何函数都称为估计量。没有数量的“THE”估计器这样的东西。各种估计器可以具有不同的属性。

您已经（正确地）表明您的估算器 2是无偏的。您可以考虑其他估计器，它们可能具有不同的属性（例如更小或更大的方差）。$\tfrac{1}{n}\sum x_i^2$$1+\mu^2$

您可以使用非中心卡方分布构建无偏估计量

这个总和的平均值为。所以将具有平均值，并且确实是一个无偏估计量。$S_1$$n+n\mu^2$$S/n$$1+\mu^2$

制作更有效的估计器（具有较低方差的估计器） 。如果我们像一样缩放它，它将分布为非中心卡方分布，自由度为 1，均值为。$S_2 = \left( \sum x_i \right)^2$$\frac{1}{n} S_2$$1+n\mu^2$

的这种 的情况具有更低的方差。您可以根据较低的均值和较低的自由度轻松验证这一点（方差是这两者的函数）。$\frac{1}{n} S_2$$S_1$

因此，估计器将是一个更有效的估计器。$\frac{1}{n^2} S_2 + 1 - \frac{1}{n}$

最后一个解决方案是估算器。就像 bdeonovic 在他的回答中强调的那样，它不是估计量。

然而，有一种估计量是独一无二的，那就是最小方差无偏估计量（MVUE）。

估计器是MVUE。$\frac{1}{n^2} S_2 + 1 - \frac{1}{n}$

这是因为它是一个基于完整且充分的统计量的函数。另见Lehmann Sheffé 定理。$\sum x_i$