我认为平方不一定会做你想要的，即使它让事情看起来很正常。

如果您想测试总体均值与假设均值的相等性，那么通过测试转换后的变量，当原始总体均值是空值中给出的值时，您很可能会拒绝（也就是说，您可能会拒绝 true空值）。

考虑一些随机变量$X$其中有一些分布$\mu=\mu_0$和非零方差。

让$Y=X^2$.

$E(Y)=E(X^2) = E(X)^2 +\text{Var}(X)=\mu_0^2+\sigma^2_X$

因此，测试$H_0^*:\mu_Y=\mu_0^2$应该拒绝（并且在大样本中将基本上确定，即使原始假设$H_0:\mu_X=\mu_0$是真的。

除非您真正了解它们的行为方式，否则请小心混合假设检验和转换！

插图

以下是总体均值为 5 的偏左分布的样本：

偶然地，样本均值非常接近总体均值：

> mean(y)
[2] 5.000247

现在我们把它平方。平均值与 25 相比如何？

> mean(y^2)
[1] 27.97773

几乎 28（Y 的总体方差约为 3，因此这是意料之中的）

因此，如果我们测试总体均值是否$Y^2$是 25 ...我们可能会拒绝。（在这个特定样本中，p 值将仅为 0.08 左右）

要求提供代码；不幸的是，我没有保留用于生成示例的代码；这与示例有点相似，因为它左偏，均值为 5，方差很大（尽管没有原始的那么大）：

n=100;x=ifelse(runif(n)<.5,pmax(runif(n),runif(n),runif(n))*5,runif(n,5,7.5))

这是使用该代码的 1000 个样本而不是 100 个样本的结果：

> mean(x);var(x);mean(x^2)
[1] 4.985436
[1] 2.35402
[1] 27.20623

> mean(x)^2+var(x)*(1-1/length(x))  # adjust for Bessel's correction 
[1] 27.20623

（撤销贝塞尔对样本的修正的调整使它像人口的代数一样工作）

[这与两个样本案例的相关性如何？如果从中抽取样本的两个总体没有相同的方差，则它们的平方均值将不同。这与具有不同方差和等方差 t 检验的常见问题完全不同——这种情况下的检验受到的影响更大。]

那么该怎么办？我们必须从感兴趣的精确假设开始，并找出一种合理的方法（至少是一个很好的近似值）来测试它。

看来空值绝对是均等的。

我看到有几个选项：

1. 按原样使用 t 检验；根据分布的偏斜和重尾程度，显着性水平和权力可能不会受到如此严重的影响。

2. 为所讨论的变量提出一个合适的参数模型。

3. 置换测试是可能的，但可能会带来困难；在通常的假设下，有必要在零下假设对称（这并不意味着样本应该看起来对称，只有当零为真时它应该是对称的）。

4. 可能会采用某种形式的自举测试；如果这两个变量的样本量相当大，这可能是合理的。

正如@user20637 在下面的评论中指出的那样，您的平方数据与美国人口平方平均值的 t 检验结果并不一定意味着您的数据相对于美国人口发生了变化。你无法根据你所拥有的来评估它。相反，您只是在测试您的平均值是否高于固定点。除此之外，你只是在做假设。

如果您有足够的数据，并且可以假设您的数据分布很好地代表了从中提取它们的总体分布，那么您可以引导您的平均值以获得更好的测试。

另一种可能性是运行一组敏感性分析并报告结果范围。例如，如果报告的值是总体均值，但总体分布与您的一样偏斜怎么办？存在其他可能性。

您还可以通过使用贝叶斯分析提前了解您对总体所做的假设。