机器算法验证 - 几乎肯定事件的可数交集也几乎肯定 - 吾爱随笔录

几乎肯定事件的可数交集也几乎肯定

机器算法验证可能性

2022-04-11 09:29:21

假设 $\{B_n\}_{n\in\mathbb N}$ 几乎可以肯定的事件，即 $\mathbb P(B_n)=1, \forall n$ . 那么我如何证明他们的交集也是一个确定的事件，即 $\mathbb P\left(\cap_{n=1}^\infty B_n\right)=1$ . 谢谢！

1个回答

让我们考虑补语 $B_n^c$ 至 $B_n$ . 对于任何 $n$ 它认为 $\mathbb{P}(B_n^c) = 0$ .

对度量使用可数可加性，我们得到：

P (⋂_{n = 1}^{\infty} B_{n}) = 1 - P (⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n}^{c}) \geq 1 - \sum_{n = 1}^{\infty} P (B_{n}^{c}) = 1.

$\mathbb{P} \left(\bigcap_{n = 1}^{\infty} B_n \right) = 1 - \mathbb{P}\left(\bigcup_{n = 1}^{\infty} B_n^c \right) \geq 1 - \sum_{n = 1}^{\infty} \mathbb{P}(B_n^c) = 1.$ 所以

1 \geq P (\cap_{n = 1}^{\infty} B_{n}) \geq 1.

$1 \geq \mathbb{P}(\cap_{n = 1}^{\infty} B_n) \geq 1.$ 最后

P (\cap_{n = 1}^{\infty} B_{n}) = 1.

$\mathbb{P}(\cap_{n = 1}^{\infty} B_n) = 1.$

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