简短回答：与物理密度一样，概率密度是概率/体积。

长答案：对于均匀的物体，密度可以定义为您所说的，其中表示质量，表示其体积。但是，如果您的对象不是均匀的，则密度是对象内空间坐标的函数： 即围绕给定坐标的无穷小体积内的质量除以该无穷小体积。想想李子布丁：葡萄干的密度与面团的密度不同。$m/V$$m$$V$

$$\rho(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta m(x, y, z)}{\Delta V}$$

对于概率，基本相同： 其中是概率密度函数 (PDF) 和累积密度函数 (CDF)，因此是在空间附近的中的无穷小概率已定义。

$$f(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x, y, z)}{\Delta V}$$ $f$$F$$\Delta F$$\Delta V$$(x, y, z)$$F$

现在，我们碰巧生活在一个具有三个空间维度的物理世界中，但我们不仅限于定义空间上的概率。在实践中，使用在单个维度上定义的概率更为常见，例如。则上述简化为 但是，当然，根据您的概率模型，和可以定义在任意数量的维度上。$x$

$$f(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x}$$ $F$$f$

您可以将Radon-Nikodym 导数视为更一般的密度概念的正式定义。

它是定义在同一空间上的两个度量（具有扩展性，它们是相加的）的比率。

$$\rho = \frac{d \nu}{d \mu}$$

这个比率使得集合可以通过对另一个量度的积分来表达$\nu$$S$$\mu$

$$\nu(S) = \int_S \rho d \mu$$

通常，分母是基于度量度量的度量，例如距离、面积或体积。这对于物理学中的密度很常见，例如质量密度、能量密度、电荷密度、粒子密度。$\mu$

随着概率的密度，分母可以更普遍地是另一种与物理空间无关的变量。然而，欧几里得测度或勒贝格测度的使用通常是相似的。只是变量不需要是物理空间中的坐标。

对于单个连续随机变量，点处的 pdf 值告诉您在实线上的点处的概率质量密度，以每单位长度的概率质量为单位测量。概率质量的密度在实线上的不同点可以不同；它不像高中物理的质量/体积处方那么简单。$t$$t$