认为$Z \sim \mathcal{N}(0,1)$.

认为$X$是一个对数正态分布的随机变量，定义为$X:=X_0exp^{(-0.5\sigma^2+\sigma Z)}$， 换句话说，$X$是对数正态的$\mathbb{E}[X]=X_0$.

假设我们对类型的变量感兴趣$Y:=\frac{1}{1+X}$

问：分布$Y$有名字吗？它是否有明确定义的 PDF 和 CDF？

分布如$Y$金融中经常出现，因为利率可能被建模为指数鞅（即它们在特定时间点的分布将对应于变量$X$定义如上）。那么，债券价格实际上会有一个对应于变量的分布$Y$（即一年到期的零息债券。如果债券在“$n$"年，那么分母就是幂$n$：$(1+X)^n$)

我在 Python 中运行了一个简单的模拟来绘制$X$和$Y$， 和$X_0=0.01$,$\sigma=0.2$. 然后我得到一个对数正态分布$X$（当然，预期）：

为了$Y$，图形的形状类似于对数正态随机变量，但围绕其平均轴旋转（即较长的左尾而不是较长的右尾）：仅通过观察图形，我认为 PDF 和 CDF 可能是定义明确，但在深入尝试代数之前，我想在这里检查这个问题是否有标准解决方案？