这些关于系数向量的线性假设有三个主要用途：

• 测试关系的存在性：我们可以测试解释变量的某些子集与响应变量之间是否存在关系。为此，设表示子集的指示向量并检验线性假设：$\mathbf{e}_\mathcal{S}$$\mathcal{S}$

$$H_0: \mathbf{e}_\mathcal{S} \boldsymbol{\beta} = 0 \quad \quad \quad H_A: \mathbf{e}_\mathcal{S} \boldsymbol{\beta} \neq 0.$$

• 测试关系的指定大小：我们可以使用一些指定的感兴趣值来测试解释变量和响应变量之间关系的大小。当特定的指定幅度具有某些实际意义时，这通常很有用（例如，测试真实系数是否等于 1 通常很有用）。为了检验，我们使用线性假设：$\beta_k = b$

$$H_0: \mathbf{e}_k \boldsymbol{\beta} = b \quad \quad \quad H_A: \mathbf{e}_k \boldsymbol{\beta} \neq b.$$

• 测试新解释变量的预期响应：我们可以测试对应于一组新解释变量的响应的期望值。取新的解释数据我们得到相应的期望值。这意味着我们可以通过假设检验假设：$\boldsymbol{X}_\text{new}$$\mathbb{E}(\boldsymbol{Y}_\text{new}) = \boldsymbol{X}_\text{new} \boldsymbol{\beta}$$\mathbb{E}(\boldsymbol{Y}_\text{new}) = \boldsymbol{y}$

$$H_0: \boldsymbol{X}_\text{new} \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{y} \quad \quad \quad H_A: \boldsymbol{X}_\text{new} \boldsymbol{\beta} \neq \boldsymbol{y}.$$

如您所见，第一个用途是检验某些系数是否为零，这是检验那些解释变量是否与模型中的响应有关。但是，您也可以对关系进行特定大小的更一般测试。您还可以使用线性测试来测试新数据的预期响应。

当您拟合线性模型时，统计软件会为您提供点估计值、置信区间、检验统计量和 _s 的 p 值。如果你只是对这些感兴趣，你可以在这里停下来（例如，简单的线性回归只有截距和一个斜率，所以本身就足够了）。但是对于小复杂的模型，你不会满足于 s，并且你想估计，测试 s 的线性组合。这时候C矩阵的重要性就很明显了。对于复杂的模型，例如具有交互作用的模型，必须构造C矩阵。$\beta$$\beta$$\beta$$\beta$$\beta$

示例 1：对于 ANOVA，一个分类协变量具有 3 个水平。假设级别 1 是参考。两个将为您提供 2 级与 1 级和 3 级与 1 级之间的差异。如果您想要 2 级和 3 级之间的差异，则需要 C 矩阵 (0 1 -1)。（第一个 0 用于拦截）。如果要估计水平 3 的均值，则需要 C=(1 0 1)。$\beta$

示例 2：如果您想同时进行多个假设，请参阅检验一般线性假设：$H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = \beta$。这里 T = C。

示例 3：如果交互存在，我们需要对交互的每个组合（单元格）具有线性关系。这是 16x16 C 矩阵，可得到 8 个截距和斜率。如何理解回归中三向交互的系数？

你可以在互联网上找到更多的例子，教科书。

综上所述，对于线性模型，构造C矩阵等于线性模型理论的一半。