我知道 Kaplan-Meier 估计量是有偏见的，因为我的教科书是这样说的。但是，我不明白为什么以下证明不起作用：

让$\hat{S}(t)$是生存函数的 Kaplan-Meier 估计$S(t)\equiv P(T_i > t)$在哪里$T_i$是 iid 失败时间。让$\hat{\Lambda}(u)$是累积风险函数的 Nelson-Aalen 估计量$\Lambda(u)$.

众所周知$\frac{\hat{S}(t)}{S(t)}-1 = -\int\limits_{0}^{t}\frac{\hat{S}(u^-)}{S(u)}d\{\hat{\Lambda}(u)-\Lambda(u)\}$.

现在，$\int\limits_{0}^{t}\frac{\hat{S}(u^-)}{S(u)}d\{\hat{\Lambda}(u)-\Lambda(u)\}$是鞅，因为$\hat{\Lambda}(u)-\Lambda(u)$是鞅，因为$\frac{\hat{S}(u^-)}{S(u)}$是一个可预测的过程。

所以，$\mathbb{E}[\frac{\hat{S}(t)}{S(t)}-1]=0 \Rightarrow \mathbb{E}[\frac{\hat{S}(t)}{S(t)}]=1 \Rightarrow \mathbb{E}[\hat{S}(t)]={S(t)}$自从$S(t)$是一个非随机函数。