方差分布的参数是$\text{Beta}(\alpha,\beta)$$0\lt m\lt 1$$0\lt v\lt m(1-m)$

$$\alpha = m\frac{m(1-m)- v}{v},\quad \beta = (1-m)\frac{m(1-m)-v}{v}.$$

的阴影轮廓图的轮廓范围从（在彩色区域的顶部）到（沿着底部）。的图是它的镜像。$\alpha$$0$$1$$\beta$

如果它们都不小于，那么代数告诉我们$1$

$$v \le m\max\left(\frac{m(1-m)}{1+m}, \frac{(1-m)^2}{2-m}\right).$$

Beta 分布的所有可能均值和方差的有效集合包含在灰色曲线下方。在该集合中，那些和中的一个或两个都为或更大的那些以深蓝色显示。这些往往总体上具有较低的差异。$\alpha$$\beta$$1$

Beta 分布的均值是

$$\mu = \frac {\alpha}{\alpha + \beta}$$

我们想看看限制的允许范围是否会保证我们将有或 .$\mu$$\{\alpha \geq 1, \beta >0\}$$\{\alpha >0, \beta \geq 1\}$

将平均值视为我们获得的参数的函数

$$\frac {\partial \mu}{\partial \alpha} > 0, \;\; \frac {\partial \mu}{\partial \beta} <0$$

所以它在中单调递减。$\alpha$$\beta$

所以

$$\min \mu = 1/(1+\beta)\implies \{\alpha \geq 1, \beta >0\} \tag {1}$$

但情况的所有可能值（在中）。$\{\alpha >0, \beta \geq 1\}$$\mu$$(0,1)$

换句话说，通过将均值限制在区间中，我们可以保证我们将有。但是对于保证我们的均值没有限制。$[1/(1+\beta),\, 1)$$\{\alpha \geq 1, \beta >0\}$$\{\alpha >0, \beta \geq 1\}$

所以我们应该转向方差，即

$$\sigma^2 = \frac {\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta +1)}$$

不难确定，没有对方差范围的限制可以保证我们会有。$\{\alpha >0, \beta \geq 1\}$

所以 ：

如果我们施加限制，那么我们肯定会有，即“不是两个参数都小于统一”。$\mu \geq 1/(1+\beta)$$\{\alpha \geq 1, \beta >0\}$

但这在某种意义上是部分结果，因为还有另一种方式“并非两个参数都小于统一”。换句话说，这种方法施加了额外的限制，即只小于单位。因此，它与我们希望能够具有（和）的 Beta 分布不兼容。$\beta$$\alpha \leq 1$$\beta >1$