这是一个复合泊松分布

总方差定律为您提供答案。

请注意，此答案不依赖于$X$完全没有；它适用于任何具有均值的分布$\mu$和方差$\sigma^2$.

在下面的，$N$是泊松 rv，$X$是单独的组件，$Y$是分量的总和，$Y|N$是给定特定项数的组件的总和，$N$：

$$\text {Var}_{Y}(Y)=E_{N}\left[\text {Var}_{{Y|N}}(Y)\right]+\text {Var}_{N}\left[E_{{Y|N}}(Y)\right]$$

代入：

$$=\text {E}_{N}\left[N\text {Var}_{X}(X)\right]+\text {Var}_{N}\left[N\text {E}_{X}(X)\right]\,$$

$$=\text {E}_{N}\left[N\sigma^2\right]+\text {Var}_{N}\left[N \mu\right]\,$$

$$=\sigma^2\text {E}_{N}\left[N\right]+\mu^2\text {Var}_{N}\left[N \right]\,$$

$$=\sigma^2\lambda+\mu^2\lambda$$

$$=(\sigma^2+\mu^2)\lambda$$

（......这也是$\lambda E(X^2)$)

这是我通过反复试验得到的答案，在我尝试过的每种情况下，它似乎都接近蒙特卡洛模拟估计。

$\text{Var} = λ(μ^2+σ^2)$

（编辑：是的，这与 Glen_b 的更新答案一致，这让我很高兴！）

根据方差乘积定律，如果两个随机变量是独立的，它们乘积的方差 = 即。$\ D(X*Y)$$\ E(X)^2*D(X)+E(Y)^2*D(Y)+D(X)*D(Y)$$\ E(X^2)*E(Y^2)-E(X)^2*E(Y)^2$

所以，如果分布是泊松和正态分布，我猜它是。$\lambda*σ^2$