我假设你想得出：

$$\begin{align*} P(w,d) = \sum_{c} P(c) P(d|c) P(w|c) &= P(d) \sum_{c} P(c|d) P(w|c) \end{align*}$$

此外，这类似于概率潜在语义索引（参见 Blei、Jordan 和 Ng (2003) Latent Dirichlet Allocation. JMLR 第 4.3 节）。PLSI 假设文档标签和单词在给定未观察到的主题的情况下是条件独立的。$d$$w$$z$

如果这是真的，那么您的公式就是贝叶斯定理的简单结果。以下是步骤：

$$\begin{align*} P(w, d) &= \displaystyle \sum_z P(w, z, d)\\ & = \displaystyle \sum_z P(w, d | z) p(z)\\ &= \displaystyle \sum_z P(w | z) p(d|z) p(z), \end{align*}$$ 其中因式分解为产品是因为条件独立。

现在再次使用贝叶斯定理得到

$$\begin{align} \displaystyle \sum_z P(w | z) p(d|z) p(z) &= \displaystyle \sum_z P(w | z) p(z,d)\\ &= \displaystyle \sum_z P(w | z) p(z|d)p(d)\\ &= p(d)\displaystyle \sum_z P(w | z) p(z|d) \end{align}$$

线$P(c|d)P(c) = P(d|c)P(c)$（你的 eq 2）应该是$P(c|d)P(d) = P(d|c)P(c)$.

我不确定为什么您认为贝叶斯定理和基本概率规则没有用：

等式 1 是贝叶斯定理（即认识到$P(d|c)P(c) = P(c,d)$并插入条件概率的定义）

等式 2 紧接在等式 1 之后

方程 3 只是 eq 2 乘以$P(w|c)$.

由于 eq 3 适用于所有人$c$总和是相等的。那么自从$w$独立于$d$给定$c$（来自模型的假设），$P(w|c)P(c|d) = P(w|c, d)P(c|d) = P(w,c|d)$所以$\sum_c\ P(w,c|d) = P(w|d)$根据全概率定律，给你$P(w|d)P(d)$.

最后，$P(w|d)P(d)=P(w,d)$从条件概率的定义。

所以基本概率实际上是推导的必要和充分的！