（这个回答比较长，最后有总结）

您对所描述场景中的嵌套和交叉随机效应的理解没有错。但是，您对交叉随机效应的定义有点狭窄。交叉随机效应的更一般定义很简单：不是嵌套的。我们将在这个答案的最后看到这一点，但大部分答案将集中在你提出的场景上，即学校内的教室。

首先要注意：

嵌套是数据的属性，或者更确切地说是实验设计，而不是模型。

还，

嵌套数据可以至少以两种不同的方式进行编码，这是您发现问题的核心。

您的示例中的数据集相当大，因此我将使用互联网上的另一个学校示例来解释这些问题。但首先，请考虑以下过度简化的示例：

在这里，我们有嵌套在学校中的类，这是一个熟悉的场景。这里重要的一点是，在每所学校之间，类具有相同的标识符，即使它们是不同的，如果它们是嵌套的。Class1出现在School1和School2中School3。但是，如果数据是嵌套的，则Class1in与in和School1中的度量单位不同。如果它们相同，那么我们将遇到这种情况：Class1School2School3

这意味着每个班级都属于每个学校。前者是嵌套设计，后者是交叉设计（有些人可能也称其为多重成员。编辑：有关多重成员​​和交叉随机效应之间差异的讨论，请参见此处），我们将在lme4使用中制定这些：

(1|School/Class)或等效地(1|School) + (1|Class:School)

和

(1|School) + (1|Class)

分别。由于随机效应是否存在嵌套或交叉的模糊性，正确指定模型非常重要，因为这些模型会产生不同的结果，如下所示。此外，仅仅通过检查数据是不可能知道我们是否有嵌套或交叉随机效应。这只能通过数据和实验设计的知识来确定。

但首先让我们考虑一下 Class 变量在学校之间被唯一编码的情况：

关于嵌套或交叉不再有任何歧义。嵌套是显式的。现在让我们通过 R 中的示例来看看这一点，其中我们有 6 所学校（标记为I- VI）和每所学校内的 4 个班级（标记a为d）：

> dt <- read.table("http://bayes.acs.unt.edu:8083/BayesContent/class/Jon/R_SC/Module9/lmm.data.txt",
                   header=TRUE, sep=",", na.strings="NA", dec=".", strip.white=TRUE)
> # data was previously publicly available from
> # http://researchsupport.unt.edu/class/Jon/R_SC/Module9/lmm.data.txt
> # but the link is now broken
> xtabs(~ school + class, dt)

        class
school  a  b  c  d
   I   50 50 50 50
   II  50 50 50 50
   III 50 50 50 50
   IV  50 50 50 50
   V   50 50 50 50
   VI  50 50 50 50

从这个交叉表中我们可以看到，每所学校都出现了每个班级 ID，这满足了您对交叉随机效应的定义（在这种情况下，我们有完全交叉随机效应，而不是部分交叉随机效应，因为每个班级都出现在每所学校）。所以这与我们在上面第一个图中的情况相同。但是，如果数据真的是嵌套的并且没有交叉，那么我们需要明确地告诉lme4：

> m0 <- lmer(extro ~ open + agree + social + (1 | school/class), data = dt)
> summary(m0)

Random effects:
 Groups       Name        Variance Std.Dev.
 class:school (Intercept)  8.2043  2.8643  
 school       (Intercept) 93.8421  9.6872  
 Residual                  0.9684  0.9841  
Number of obs: 1200, groups:  class:school, 24; school, 6

Fixed effects:
              Estimate Std. Error t value
(Intercept) 60.2378227  4.0117909  15.015
open         0.0061065  0.0049636   1.230
agree       -0.0076659  0.0056986  -1.345
social       0.0005404  0.0018524   0.292

> m1 <- lmer(extro ~ open + agree + social + (1 | school) + (1 |class), data = dt)
summary(m1)

Random effects:
 Groups   Name        Variance Std.Dev.
 school   (Intercept) 95.887   9.792   
 class    (Intercept)  5.790   2.406   
 Residual              2.787   1.669   
Number of obs: 1200, groups:  school, 6; class, 4

Fixed effects:
             Estimate Std. Error t value
(Intercept) 60.198841   4.212974  14.289
open         0.010834   0.008349   1.298
agree       -0.005420   0.009605  -0.564
social      -0.001762   0.003107  -0.567

正如预期的那样，结果不同，因为m0是嵌套模型而m1交叉模型。

现在，如果我们为类标识符引入一个新变量：

> dt$classID <- paste(dt$school, dt$class, sep=".")
> xtabs(~ school + classID, dt)

      classID
school I.a I.b I.c I.d II.a II.b II.c II.d III.a III.b III.c III.d IV.a IV.b
   I    50  50  50  50    0    0    0    0     0     0     0     0    0    0
   II    0   0   0   0   50   50   50   50     0     0     0     0    0    0
   III   0   0   0   0    0    0    0    0    50    50    50    50    0    0
   IV    0   0   0   0    0    0    0    0     0     0     0     0   50   50
   V     0   0   0   0    0    0    0    0     0     0     0     0    0    0
   VI    0   0   0   0    0    0    0    0     0     0     0     0    0    0

      classID
school IV.c IV.d V.a V.b V.c V.d VI.a VI.b VI.c VI.d
   I      0    0   0   0   0   0    0    0    0    0
   II     0    0   0   0   0   0    0    0    0    0
   III    0    0   0   0   0   0    0    0    0    0
   IV    50   50   0   0   0   0    0    0    0    0
   V      0    0  50  50  50  50    0    0    0    0
   VI     0    0   0   0   0   0   50   50   50   50

根据您对嵌套的定义，交叉表显示每个级别的班级仅出现在一个级别的学校中。您的数据也是如此，但是很难用您的数据来证明这一点，因为它非常稀疏。两种模型公式现在将产生相同的输出（m0上面的嵌套模型的输出）：

> m2 <- lmer(extro ~ open + agree + social + (1 | school/classID), data = dt)
> summary(m2)

Random effects:
 Groups         Name        Variance Std.Dev.
 classID:school (Intercept)  8.2043  2.8643  
 school         (Intercept) 93.8419  9.6872  
 Residual                    0.9684  0.9841  
Number of obs: 1200, groups:  classID:school, 24; school, 6

Fixed effects:
              Estimate Std. Error t value
(Intercept) 60.2378227  4.0117882  15.015
open         0.0061065  0.0049636   1.230
agree       -0.0076659  0.0056986  -1.345
social       0.0005404  0.0018524   0.292

> m3 <- lmer(extro ~ open + agree + social + (1 | school) + (1 |classID), data = dt)
> summary(m3)

Random effects:
 Groups   Name        Variance Std.Dev.
 classID  (Intercept)  8.2043  2.8643  
 school   (Intercept) 93.8419  9.6872  
 Residual              0.9684  0.9841  
Number of obs: 1200, groups:  classID, 24; school, 6

Fixed effects:
              Estimate Std. Error t value
(Intercept) 60.2378227  4.0117882  15.015
open         0.0061065  0.0049636   1.230
agree       -0.0076659  0.0056986  -1.345
social       0.0005404  0.0018524   0.292

值得注意的是，交叉随机效应不一定发生在同一个因素内——在上面的交叉是完全在学校内的。然而，情况并非必须如此，而且很多时候并非如此。例如，坚持一个学校场景，如果我们在学校里有学生而不是学校里的班级，并且我们也对学生注册的医生感兴趣，那么我们也会在医生中嵌套学生。医生内部没有学校嵌套，反之亦然，所以这也是交叉随机效应的一个例子，我们说学校和医生是交叉的。发生交叉随机效应的类似情况是单个观察值同时嵌套在两个因子中，这通常发生在所谓的重复测量中主题项目数据。通常，每个受试者都会用/在不同的项目上多次测量/测试，并且这些相同的项目由不同的受试者测量/测试。因此，观察集中在主题内和项目内，但项目不嵌套在主题内，反之亦然。同样，我们说主题和项目是交叉的。

摘要：TL；DR

交叉随机效应和嵌套随机效应之间的区别在于，当一个因素（分组变量）仅出现在另一个因素（分组变量）的特定水平内时，就会发生嵌套随机效应。这是指定的lme4：

(1|group1/group2)

wheregroup2嵌套在group1.

交叉随机效应很简单：不是嵌套的。这可能发生在三个或更多分组变量（因子）中，其中一个因子单独嵌套在其他两个因子中，或者两个或多个因子单独嵌套在两个因子中。这些指定在lme4：

(1|group1) + (1|group2)