背景

变量误差模型定义为：

考虑自变量测量误差的回归模型。相比之下，标准回归模型假设这些回归量已经被精确测量，或者没有错误地观察到；因此，这些模型仅考虑因变量或响应中的错误。

无论数据是实验数据还是计算数据（例如通过基于物理的模拟），自变量的不确定性都很常见。这在加工、结构和性能测量中存在不确定性的材料科学中尤为重要。此外，这种不确定性不一定对所有参数都是恒定的（温度传感器可能在温度范围的限制下具有更高的不确定性，材料结构的各个方面可能已由单独的仪器确定，性能测量是从多个来源中挖掘的数据， ETC。）。另见不确定性量化。我确信这也适用于其他学科（例如物理学、化学、生物学、工程学）。

现有方法

我不是在寻找什么

• 线性回归模型（例如正交回归/总最小二乘OrthogonalLineFit[]、linortfitn()、odr()、odregress()）。
• 仅响应不确定性回归模型
  • 使用 NonlinearModelFit[] 与指定的响应不确定向量进行非线性参数拟合
  • 使用 fitrgp() 具有指定标量响应不确定性的非参数拟合。这允许指定“平滑长度”向量，每个预测变量一个，但不能指定预测变量的不确定性

我在找什么

一种迎合多维、非参数回归的方法，在预测变量和响应中传播测量不确定性（即不确定性传播，而不仅仅是加权点），最好是与之配套的软件（Mathematica、MATLAB、Python、R、Stan 等.)。多维是指预测变量（即响应是标量的）。

理想情况下，这将是可以解释的并且可以通过以下方式执行的内容：

mdl = some_function(X, Xsd, y, ysd)
ypred, ysd2, cov = mdl(X2, Xsd2)

输入

1. 矩阵/预测变量数组 ( )X $X$
2. 矩阵/预测不确定性数组（）Xsd $\sigma_X$
3. 响应值向量 ( )y $y$
4. 响应不确定性向量 ( )ysd $\sigma$
5. 新预测变量的矩阵/数组 ( )X2 $X_2$
6. （可选）新预测不确定性矩阵/数组（）Xsd2 $\sigma_{X2}$

输出

1. 新响应向量 ( )ypred $y_{pred}$
2. 新响应不确定性向量 ( )ysd2 $\sigma_2$
3. （可选）预测变量协方差矩阵（）cov $\Sigma_2$

更新

• 这似乎是通过 BoTorch 支持的，这是一个基于 Python 的包（参见教程），稍后将在 Meta 的自适应实验平台中公开。最终可能会尝试这个并将其充实为答案。如果其他人想尝试并提供 MWE，这也是受欢迎的。

有关的

• SE：因变量和自变量具有不确定性的非线性拟合
• 变量误差多元多项式回归 (R)
• 在非线性最小二乘法最小化中包括模型不确定性
• 使用 NonlinearModelFit 时如何指定参数的不确定性？
• 如何给你的神经网络增加不确定性
• BLiTZ — PyTorch 的贝叶斯神经网络库