正如在这个相关问题中指出的那样，线性回归中误差项的正态性不足以确保响应变量的边际正态性。后者也受到解释变量分布的影响，在回归分析中，解释变量不被认为是正态的。

在您指定的线性回归模型下，条件分布$Y$是：

$$Y|x \sim \text{N}(\alpha + \beta x, \sigma^2).$$

边际分布$Y$是：

$$F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leqslant y) = \int \limits_{-\infty}^\infty \Phi \Big( \frac{y - \alpha - \beta x}{\sigma} \Big) f_X(x) dx,$$

其中是标准正态分布的 CDF。这导致正态分布的特殊情况下，但在解释变量具有其他分布的更一般情况下，您通常会得到响应变量的边际分布，该分布不正常.$\Phi$$X \sim \text{N}$

答案是最确定的“不”。的边际正态性并不意味着的条件分布是正态的。请参阅此处的反例：$\epsilon$$Y$

https://stats.stackexchange.com/a/486951/102879

x 固定值的分布是正态的。Y 不正常。只需查看响应的直方图即可。它看起来不像一个正态分布。但是，如果您查看固定 x 处的分布，那么它看起来很正常。

是的，如果 那么我们可以说。这源于如果随机变量那么的结果，例如如果然后$\varepsilon \sim N(0, \sigma^2)$ $Y=\alpha+\beta x+ \epsilon$$Y \sim N(\alpha+\beta x,\sigma^2)$$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$X+a \sim N(\mu+a, \sigma^2)$$X\sim N(0, 3^2)$$X+2 \sim N(2, 3^2)$