在多项逻辑回归中， 其中是可能的类标签， - 输入数据， - 系数类的向量。

$$p(k) = \frac{e^{x\beta_k}}{\sum_i e^{x\beta_i}}$$ $i, k$$x$$\beta_i$$i$

给定类和基类，log-odds 计算为 $k$$j$

$$\log\frac{p(k)}{p(j)}=\log\frac{e^{x\beta_k}}{e^{x\beta_j}} = x(\beta_k-\beta_j)$$

如果 ，即如果 ，则对象被分类为而不是。最后一个不等式在中是线性的。这就是为什么逻辑回归的决策边界总是线性的。$k$$j$$p(k)>p(j)$$x(\beta_k-\beta_j)>0$$x$

和之间的决策边界的方向由下式确​​定$k$$j$$\beta_k$和$\beta_j$. 如果元素$\beta_k$远大于$\beta_j$，这个方向主要由$\beta_k$. 因此，如果有一个类$k$特别大$\beta$，所有决策边界都将由它支配，并且几乎是平行的。