机器算法验证 - 相关正态随机变量的绝对值总和的期望 - 吾爱随笔录

相关正态随机变量的绝对值总和的期望

机器算法验证和绝对值折叠正态分布

2022-04-04 00:24:35

让 $x_1, x_2, \dots, x_{N}$ 独立同分布随机变量 $\sim \mathcal{N}\left(0,\sigma^2_x\right)$ . 此外，让 $z\sim \mathcal{N}\left(0,\sigma^2_z\right)$ , $z$ 独立于一切 $x_i$ .

我们构建随机变量 $y_i=x_i+\gamma z$ . 通过施工， $y_i \sim \mathcal{N}\left(0, \sigma^2_x +\gamma^2 \sigma^2_z\right)$ - 但， $y_i$ 不再独立。

下面的期望是什么：

E \sum_{i} | y_{i} |,

$\mathbb{E} \sum_i \left| y_i\right|,$ 在哪里

| a |

$\left| a\right|$ 是的绝对值

a

$a$ ?

1个回答

期望运算符分布在总和上，因此相关性 $y_i$ 在计算中并不重要：

E [\sum_{i = 1}^{N} | y_{i} |] = N E [| y_{1} |]

$\mathbb E\left[\sum_{i=1}^N|y_i|\right]=N\mathbb E[|y_1|]$

$y_1\sim\mathcal N(0, \sigma_y^2)$ 在哪里 $\sigma_y^2=\sigma_x^2+\gamma^2\sigma_z^2$ . 您可以使用折叠正态分布的均值条目计算期望值 $\mu=0, \sigma^2=\sigma_y^2$ . 您也可以选择自己计算，因为积分是微不足道的。

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